第03讲 椭圆-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

3.0 cande 2025-05-10 28 4 5.26MB 90 页 3知币
侵权投诉
第 03 讲 椭圆
知识点 1 椭圆的定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若 ，M的轨迹为线段
F1F2
；
②若 ，M的轨迹无图形
知识点 2 椭圆的标准方程及简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x轴上 焦点在 y轴上
【考点目录】
【知识梳理】
图形
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
范围 － a ≤ x ≤ a
且－ b ≤ y ≤ b － b ≤ x ≤ b
且－ a ≤ y ≤ a
顶点 A1( － a, 0) ， A 2( a, 0), _ B1(0 ，－ b ) ， B 2(0 ， b ) A1(0 ，－ a ) ， A 2(0 ， a ), B 1( － b, 0) ， B 2( b, 0)
轴长 长轴长＝，短轴长＝
焦点 F1( － c, 0) ， F 2( c, 0) F1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c )
焦距 |F1F2|＝
对称性 对称轴 x
轴和
y
轴 ，对称中心(0,0)
离心率 e＝(0<e<1)（注：e＝＝.）
注：1、椭圆的标准方程的特征
①几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x轴或 y轴上．
②代数特征：方程右边为 1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值．
③给出椭圆方程 (，, ),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的
焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大;椭圆的焦点在 轴上⇔标准方程中 项的分母较大,这是判断
椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.（x
2
项和
y
2
项谁的分母大，焦
点就在谁的轴上．）
2、椭圆的简单几何性质
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上．
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点．
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为 a＋c，最小值为 a－c.
(4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置．
(5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心， a为半径作弧交
长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点．
(6)椭圆的离心率 e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆．
拓展：用离心率 e＝来刻画椭圆的扁平程度．
如图所示，在 Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记 e＝，则 0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，
∠BF2O越大，椭圆越接近于圆．
(7)常用椭圆方程的设法
①与椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
共焦点的椭圆方程可设为：
(m>−b2)
②有相同离心率：
x2
a2+y2
b2=k
（
k>0
，焦点在 轴上）或
y2
a2+x2
b2=k
（
k>0
，焦点在 轴上）
知识点 3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正
弦定理、余弦定理．
以椭圆＋＝1(a>b>0)上一点 P(x0，y0)(y0≠0)和焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2
＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即 P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为 bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2= = = （ 是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为 2(a＋c)．
(5)在椭圆 C：＋＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点 P在短轴
端点时， 最大.
知识点 4　点与椭圆的位置关系
第03讲 椭圆-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）.docx

共90页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：高中 价格：3知币 属性：90 页 大小：5.26MB 格式：DOCX 时间：2025-05-10

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 90
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注