第03讲 平面向量的数乘运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第3讲 平面向量的数乘运算
知识点 1 向量的数乘
一般地，我们规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，其长度与方
向规定如下：
(1)|λa|＝| λ || a | .
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当 λ＝0时，λa＝0.，当 λ＝－1时，(－1)a＝－a.
对于 理解 代数角度 几何角度
是实数， 是向
量，它们的积仍然是
向量． 的条件
是 或 ．
对于长度来说，当 时，意味着表示向量 的有向线段在原方
向 或相反方向 上伸长了 倍；当 时，意味
着表示向量 的有向线段在原方向 或反方向
上缩短了 倍．
实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如 ， 都无意义．
知识点 2 向量数乘的运算律
1、向量数乘的运算律
实数与向量的积满足下面的运算律：设 、 是实数， 、 是向量，则：
结合律： ；
第一分配律： ；
第二分配律： ．
特别地，(－λ)a＝－λa＝λ ( － a ) ，λ(a－b)＝λ a － λ b .
2、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a，b，以及任意实数 λ，μ1，μ2，恒有
λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
知识点 3 向量共线定理
向量 与非零向量 共线，则有且只有一个实数 ，使 ．
注：定理中，向量 a为非零向量，特别地，若 ，实数 仍存在，但不唯一．
知识点 4 三点共线向量表示的两个结论
结论 1：如图 1，点 A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数 ，使得 .
结论 2：设 是平面内的任意一点，点 A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数 ，使得
.
考点一 向量的数乘运算
解题方略：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同
类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公
因式”指向量，实数看作是向量的系数．
【例 1】下列算式中，正确的个数为（ ）
① ；② ；③ .
A．B．C．D．
【解析】对于①， ，①正确；
对于②， ，②正确；
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