第03讲 简单几何体的表面积与体积 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第3讲 简单几何体的表面积与体积
知识点 1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是多面体，将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若
干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．由此可知，棱柱、棱锥、
棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和．棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底
面积的和．可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
， ， ．
计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：
项目
名称 底面 侧面
棱柱 平面多边形 平行四边形 面积=底·高
棱锥 平面多边形 三角形 面积= ·底·高
棱台 平面多边形 梯形 面积= ·（上底+下底）·高
注：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表
面积．
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一
个矩形．如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为
ch (c为底面周长，h为侧棱长)．
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是
几个全等的等腰三角形．
如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 ch′(c为底面周长，h′为斜高，即侧面等腰三角形底边上的
高)．
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形．
如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c+c′)h′(c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高，即侧面等
腰梯形的高)．
知识点 2 圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆锥（底面半径为 r，
母线长为 l）
圆台（上、下底面半径分
别为 r′，r，母线长为 l）
侧面展开图
圆柱的侧面展开图是
一个矩形
圆锥的侧面展开图是
一个扇形
圆台的侧面展开图是一个
扇环
底面面积 S底=πr2S底=πr2S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积 S侧=2πrl S 侧=πrl S 侧=πl(r′+r)
表面积 S表=2πr(r+l)S表=πr(r+l)S表=π(r′2+r2+r′l+rl)
注：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．
对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解
(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式 . 但圆台的表面积公式比较复杂，不要
求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的．
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长．
(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，
将立体几何问题转化为平面几何问题．
(4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π(r＋r′)l――→S圆锥侧＝πrl.
知识点 3 柱体、椎体、台体的体积
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与
垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．圆柱的母线即圆柱的高．
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离．
（3）棱台（圆台）的高是指两个底面之间的距离．
2．柱体、锥体、台体的体积
几何体 体积
柱体 V柱体= Sh (S为底面面积，h为高)，V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= πr2h (r为底面半径，h为高)
台体 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
V圆台= πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
注：1、对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积
的
3
倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝Sh――→V＝(S′＋＋S)h――→V＝Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积. 根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减
去“小棱锥”的方法求棱台的体积．
2、对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识
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