第03讲 古典概型-【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第3讲 古典概型
知识点 1 古典概型
1．古典概型定义
一般地，若实验 E具有如下特征：
①有限性——样本空间的样本点只有有限个
②等可能性——每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型
注：①由古典概型的定义可得，古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件
的概率就可以不用通过大量的重复试验，只要对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.
②在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件.
2．古典概型的特征
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
注：判断一个概率模型是否为古典概型，依据在于——①样本空间的样本点，只有有限个②每个样本
点发生的可能性相等，判断一个试验是否满足这两个特征，应根据具体的问题情境仔细分析，并不是所有
的试验都是古典概型.以下试验不是古典概型：
①样本点的个数有限，但出现的可能性并不相等
②样本点的个数无限，但是出现的可能性相等
③样本点的个数无限，出现的可能性也不相等
例如在适宜的条件下,种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验的基本事件空间为｛发芽，不发芽｝ ，
发芽与不发芽的这两种结果出现的机会一般是不均等的. 又比如从直径规格为 300mm±0.6mm 的一些钢管产
品中，任意抽一根，测量其直径，测量值可能是从 299.4mm~300.6mm 之间的任何一个值，所有可能的结
果有无限多个.
3．古典概型的概率公式
设试验 E是古典概型，样本空间 Ω包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个样本点，则定义事件 A的
概率为 P(A)＝＝.
[说明]　(1)随机试验 E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表
可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件 A包含的样本点个数，求出事件 A的概率．
考点一 古典概型的判断
解题方略：
1.古典概型的判断方法：
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不
是所有的试验都是古典概型.
2.下列三类试验都不是古典概型：
1样本点个数有限，但不等可能；
2样本点个数无限，但等可能；
3样本点个数无限，也不等可能.
【例 1】判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到 1的概率；
②从含有 1的10 个整数中任意取出一个数，求取到 1的概率；
③向一个正方形 ABCD 内投掷一点 P，求 P恰好与 A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．
【解析】根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均
匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有 1的10 个整数中任取 1
个整数，其样本点总数为 10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．
变式 1：某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中 10 环、命中 9环、……、命
中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
【解析】不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 7个，而命中 10 环、命中 9环、……、命中 5环和
不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.
考点二 样本点的计数问题
解题方略：
随机试验中样本点的探求方法
(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．
(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关
系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．
【例 2】4张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上的数字之和
为奇数的所有样本点个数为(　　)
A．2　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
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