第03讲 复数的加、减运算及其几何意义 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第3讲 复数的加、减运算及其几何意义
知识点 1 复数代数形式的加减法
(1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ，(a＋bi)－(c＋di)＝( a － c )
＋ ( b － d )i .
(2)加法运算律
对任意 ，有 ， ．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
知识点 2 复数加减法的几何意义
复数加法的
几何意义
向量加法的平行四
边形法则
复数 z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平
行四边形的对角线OZ所对应的复数
复数减法的
几何意义
向量减法的三角形
法则
复数 z1－z2是从向量OZ2的终点指向向
量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数
考点一 复数代数表示式的加、减法运算
解题方略：
复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实
部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到
右依次进行计算．　　　　
【例 1】 （ ）
A．B．C．D．
【解析】 ，故选：D
变式 1：计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
【解析】(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
变式 2：－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
【解析】－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝－i＋1－5i－2－3i－i＋1＝－10i.
变式 3：如果 ，那么复数 为（ ）
A．B．C．D．
【解析】 ，故 .故选：A.
【例 2】已知复数 z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若 z1＋z2是纯虚数，则实数 a＝________.
【解析】由条件知 z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，所以
解得 a＝3.
变式 1：复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数 a，b的值为(　　)
A．a＝－3，b＝－4　　　　　 B．a＝－3，b＝4
C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4
【解析】由题意可知 z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i 是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i 是纯虚数，故解得 a＝－3，b
＝－4.故选 A.
【例 3】设 z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且 z1＋z2＝5－6i，求 z1－z2.
【解析】∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，
∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，
∴解得
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
变式 1：已知 z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)．若 z＝z1－z2，且 z＝13－2i，则 z1＝
________，z2＝________.
【解析】z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又z＝13－2i，所以解得
所以 z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝(－4－2×2)－(5×2－3×1)i＝－8－7i.
答案：5－9i　－8－7i
变式 4：若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内 z1＋z2所对应的点在实轴上，则 a的值为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．－1
【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内 z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.故选 D.
【例 4】计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.
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