第02讲 用样本估计总体 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第2讲 用样本估计总体
知识点 1 频率分布表与频率分布直方图
1、频率与频数
将一批数据按要求分为若干个小组，各个小组内数据的个数，叫做该组的频数；每组数据的频数除以
全体数据的个数的商，叫做该组数据的频率. 频率反映各个小组数据在样本量中所占比例的大小.
2、样本的频率分布及频率分布表
根据随机抽取的样本量的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律 (取值状况)，就
叫做样本的频率分布.为了能直观的显示样本的频率分布情况，通常将样本量、样本中出现该事件的频数以
及计算所得的相应频率列在一张表中，这张表叫做频率分布表. 分组、频数、频率是频率分布表中最基本
也是必要的三列.在实际操作中，每组的频数是通过类似统计选票时的“唱票”的方式进行统计的，所以通
常频率分布表中还会有“频数累计”一列.
注：①对频率分布表的理解：频率分布表给出了各个区间的频数和频率。由此可以估计这组数的分布情况，
样本频率分布是总体分布的一种近似情况.
②样本的抽取必须是随机的：用样本频率分布来估计总体分布时，要使样本很好地反映总体的特征，必须
随机抽取样本. 如果随机抽取另外一个样本量相同的样本，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频
率分布有所不同，但是他们都可以近似的估计总体的分布.
3、频率分布直方图
为了将频率分布表中的结果直观形象地表现出来，常画出频率分布直方图 . 画图时应以横轴表示分
组，纵轴表示各组频率与组距的比值，以各个组距为底，以各频率除以组距的商为高，画成小长方形，这
样得到的直方图就是频率分布直方图.
①绘制频率分布直方图的步骤
(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．
(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据
越多，分组越多．
(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．
(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个
数．
(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．
注：①频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形的高度与频数成正比；频率分布直方图
的纵坐标是，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所
有矩形的面积之和为 1.
②样本组数、组距与分点的确定：
（1）对样本数据进行分组，组距的确定没有固定的标准，组数太多或太少都会影响我们了解数据的
分布情况. 数据分组的组数与样本量有关，一般样本量越大，所分组数越多，当样本量不超过 100 时，按照
数据的多少，通常分成 5~12 组，且根据组数=极差/组距来大致确定组数
（2）为了实际操作方便，组距的选择应结合极差尽量“取整”，例如极差约为 1，组距可以选择 0.1
的整数倍，比如以 0.1 或0.2 为组距；极差约为 10，组距可以选择 1的整数倍，比如以 1或2为组距；极差
约为 100，组距可以选择 10 的整数倍，比如以 10 或20 为组距.如果极差不利于分组，不能被组距整除，可
以适当增加极差，如在左右两端各增加适当范围，并尽量使两端增加量相同
（3）分点的确定：若数据为整数，则分点数据减去 0.5；若数据是小数点后有一位数字的数，则分点
数据减去 0.05，以此类推. 分组时，通常对组内数值所在的区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间.
知识点 2 统计图表
条形图、折线图及扇形图
(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一
定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按
照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图．
优点：条形统计图不但可以直观的反映数据分布的大致情况，还可以清晰地表示出各个区间的具体数
目，易于比较数据间的差别.
缺点：会损失数据的部分信息，且不能明确显示部分与整体的关系.
(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根
据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样
本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图．
优点：折线统计图不但可以表示数量的多少，还可以通过折线的起伏清楚直观地表示数量的增减变化
情况.
缺点：折线统计图不能直观反映数据的分布情况，且不适合总体分布较多的情况
(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示
的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图．
优点：扇形统计图可以很清楚的表示各部分与总体之间的关系，即扇形统计图能清楚地表示出各部分
在总体中所占的百分比
缺点：会损失数据的部分信息，且不能明确显示部分与整体的关系.
知识点 3 百分位数
(1)一组数据的第 p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p%的数据小于或等于这个值，
且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
(2)计算一组几个数据第 p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算
i ＝ n × p %.
第3步，若
i
不是整数，而大于
i
的比邻整数为
j ，则第
p
百分位数为第
j
项数据；若
i
是整数，则第
p
百分位数为第
i
项与第 ( i ＋ 1) 项数据的平均数．
(3)四分位数
即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．
其中第 25 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第 75 百分位数也称为第三四分位数或上四
分位数等．
知识点 4 总体集中趋势的估计
1．众数、中位数、平均数的理解
(1)一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数．
注：如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数
据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数．
(2)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为 x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1
为这组数的中位数；
如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为 x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数．
(3)如果给定的一组数是 x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)．
众数、中位数、平均数都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．
2．众数、中位数、平均数的比较
名称 优点 缺点
众
数
①体现了样本数据的最大集中点；
②容易计算
①它只能表达样本数据中很少的一部
分信息；
②无法客观地反映总体的特征
中
位
数
①不受少数几个极端数据(即排序靠
前或靠后的数据)的影响；
②容易计算，便于利用中间数据的信
息
对极端值不敏感
平
均
数
代表性较好，是反映数据集中趋势的
量．一般情况下，可以反映出更多的
关于样本数据全体的信息
任何一个数据的改变都会引起平均数
的改变．数据越“离群”，对平均数
的影响越大
知识点 5 总体离散程度的估计
1、方差、标准差的定义
一组数据 x1，x2，…，xn，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为 ＝（
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