第02讲 事件的关系和运算 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（原卷版）

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第2讲 事件的关系和运算
知识点 1 事件的关系
定义 记法 图示
包含关系
一般地，如果事件 A发生时，事件 B一
定发生，则称“A包含于 B”(或“B包含
A”)
注：事件 B包含事件 A，其含义就是事
件A发生，事件 B一定发生，而事件 B
发生，事件 A不一定发生.
A⊆B或
B⊇A
相等关系
如果事件 A发生时，事件 B一定发生；
而 且 事 件 B发 生 时 ， 事件 A也 一 定 发
生，则称“A与B相等”，记作 A＝B.
A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的
样本点
注：两个相等事件总是同时发生或同时
不 发 生 ， 所谓 事 件 A=B ，就 是 说 事 件
A，B是同一事件.
A＝B
互斥事件
给定事件 A，B，若事件 A与B不能同时
发生，则称 A与B互斥
AB＝∅或
A∩B＝∅
对立事件
给定样本空间 Ω与事件 A，则由 Ω中所
有不属于 A的样本点组成的事件称为 A
的对立事件
A∩＝∅且
A∪＝Ω
知识点 2 事件的运算
定义 记法 图示
事件 A与事件 B的并
事件(和事件)
事件 A与事件 B至少有一个发
生，这样的一个事件中的样本
点或者在事件 A中，或者在事
A∪B(或A
＋B)
件B中
事件 A与事件 B的交
事件(积事件)
事件 A与事件 B同时发生，这
样的一个事件中的样本点既在
事件 A中，也在事件 B中
A∩B(或
AB)
[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件 A与B是互斥事件，包括如下三种情况： 若事件①A发生，则事件 B就不发生；②
若事件 B发生，则事件 A就不发生； 事件③A，B都不发生．
而两个事件 A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件 A与B是对立事件，则 A∪B是必然事件，
但若 A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件 A的对立事件只有一个，而事件 A的互斥事件可以
有多个．
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对
立必互斥，但互斥不一定对立．
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件 A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A所含的结果组成的集合的补集．
知识点 3 随机事件的运算与集合运算的对应关系
符号 事件的运算 集合的运算
A随机事件 子集
A的对立事件 A的补集
AB 事件 A与B的交事件 集合 A与B的交集
A∪B事件 A与B的并事件 集合 A与B的并集
考点一 事件间关系的判断
解题方略：
判断事件间关系的方法
(1)利用基本概念
①互斥事件不可能同时发生；
②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．
(2)利用集合观点
设事件 A与B所含的结果组成的集合分别是 A，B.
①若事件 A与B互斥，则集合 A∩B＝∅；
②若事件 A与B对立，则集合 A∩B＝∅且A∪B＝Ω.
注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用 Venn 图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，
再进行分析．
【例 1】同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为 A，向上面至少有一枚是正面为事件 B，则有(　　)
A．A⊆B　　　　　　　 B．A⊇B
C．A＝B D．A<B
【例 2】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
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