第01讲 随机抽样 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第1讲 随机抽样
知识点 1 统计的相关概念
普查：像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又叫普查.
抽样调查：根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计
和推断的调查方法，称为抽样调查.
样本与样本量的区别：
样本与样本量是两个不同的概念.样本是从总体中抽取的个体组成的集合，是对象；样本量是样本中个
体的数目，是一个数.
收集数据时，必须清楚的知道以下两点：要收集的数集是什么；要如何才能收集到高质量的样本数据.
统计的基本思想方法就是用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样
本，根据样本的情况去估计总体的情况.
知识点 2 简单随机抽样
1、一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时
总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
2、简单随机抽样的四个特点
(1)它要求被抽取样本的总体的个数有限，这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分析．
(2)它是从总体中逐个抽取，这样便于在抽样实践中进行操作．
(3)它是一种不放回抽样，由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取
的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算．
(4)它是一种等机会抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽到的机会相等，而且在整个抽
名称 定义
总体 调查对象的全体称为整体
个体 组成整体的每一个调查对象称为个体
样本 从总体中抽取的那部分个体称为样本
样本容量 样本中包含的个体数称为样本容量
样的过程中，各个个体被抽取的机会也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
对简单随机抽样“等可能性”的理解
简单随机抽样是一种等可能抽样.假设总体中共有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n(n＜N)个个体作
为样本，则某个个体 a 在整个抽样过程中可能第一次被抽到，也可能第二次被抽到 ,…,还可能第 n次被抽
到.
其中第一次被抽到的可能性为 ，第二次被抽到的可能性为 ,…,第 n 次被抽到的可能
性为 .由于以上情况不可能同时发生，所以在整个抽样过程中个体 a 被抽到的
可能性为 + +…+ =
知识点 3 抽签法和随机数法
1．抽签法：把总体中的 N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次
从中抽取一个号签，连续抽取 n次，就得到一个容量为 n的样本．
2．随机数法：随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算
机产生的随机数进行抽样．
3．利用随机数法抽取个体时的注意事项
(1)定起点：事先应确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点．
(2)定方向：读数的方向(向左、向右、向上或向下都可以)．
(3)读数规则：读数时结合编号的特点进行读取，编号为两位数则两位两位地读取，编号为三位数则三位三
位地读取，如果出现重复则跳过，直到取满所需的样本个体数．
4．抽签法与随机数法的异同点
相同点 ①都属于简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限；
②都是从总体中逐个不放回地进行抽取
不同点
①抽签法比随机数法操作简单；
②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体
数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节
约大量的人力和制作号签的成本
知识点 4 总体平均数和加权平均数
1．一般地，总体中有 N个个体，它们的变量值分别为 Y1，Y2，…，YN，
则称
Y=
Y1+Y2+⋯YN
N=1
N∑
i=1
N
Yi
为总体均值，又称总体平均数．
2．一般地，对于 f1个x1，f2个x2，…，fn个xn，共 f1＋f2＋…＋fn个数组成的一组数据的平均数为.这个平均
数叫做加权平均数，其中 f1, f2，…， fn叫做权，这个“权”，含有权衡所占份量的轻重之意，即 fi(i＝1,2，
…，k)越大，表明xi的个数越多，“权”就越大．
3．样本平均数和总体平均数的区别与联系
平均数的意义：平均数反映一组数据的平均水平．我们把样本中所有个体的平均数称为样本平均数；
把总体中所有个体的平均数称为总体平均数．随机样本的容量越大，样本平均数就越接近总体平均数．必
要时，可以用样本平均数来估计总体平均数．
区别：总体平均数即为研究对象的全部的平均数(总体均值)，是一个常量，而样本平均数是指从总体
中抽出的一部分个体的平均数，不同样本的平均数往往是不同的，由于样本的选取是随机的，因此样本平
均数(样本均值)也具有随机性．
联系：(1)大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动，可以用样本平均数来估计总
体平均数.
(2)随机样本的容量越大，样本平均数就越接近总体平均数.
知识点 5 分层随机抽样的概念
（1）定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总
体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为
分层随机抽样，每一个子总体称为层．
（2）适用范围
当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往采用分层随机抽样．
（3）比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
（4）分层随机抽样的实施步骤
第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；
第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；
第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.
（5）分层随机抽样适用于总体中个体之间差异较大的情形
（6）在比例分配的分层抽样中需注意两点
抽样比＝；可以直接用样本平均数估计总体平均数．
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