第01讲 数系的扩充和复数的概念 -【考点通关】2021-2022学年高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)（解析版）

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第1讲 数系的扩充和复数的概念
知识点 1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母 C
表示．
3.复数
①定义：把集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i叫做虚数单位．
满足 i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母 z
表示，即 z ＝ a ＋ b i (a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的形式，其中 0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数
b
而非
b i .
(3)复数 z＝a＋bi只有在 a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点 2 两个复数相等的充要条件
在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等
的充要条件是 a ＝ c
且
b ＝ d .
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是 a，b，c，d∈R，即当 a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋
di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题
来求解．
知识点 3 复数的分类
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
考点一 复数的有关概念
解题方略：
复数概念的几个关注点
(1)复数的代数形式：若 z＝a＋bi，只有当 a，b∈R时，a才是 z的实部，b才是 z的虚部，且注意虚部不是
bi，而是 b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可
按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．　　
【例 1】给出下列几个命题：
①若 z∈C，则 z2≥0；② 2i－1虚部是 2i；③ 2i 的实部是 0；
④若实数 a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；⑤实数集的补集是虚数集．⑥ 的平方根是
其中真命题的个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】令 z＝i∈C，则 i2＝－1<0，故①不正确．
②中 2i－1的虚部应是 2，故②不正确．
④当 a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，
∴只有③，⑤,⑥ 正确．
故选 D
变式 1：已知复数 z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是(　　)
①z的实部为 1；② z>0；③ z的虚部为 i.
A．1　　　B．2 C．3 D．0
【解析】易知①正确，②③错误，故选 A.
变式 2：下列命题正确的是________．
①复数－i＋1的虚部为－1.
②若 z1，z2∈C且z1－z2>0，则 z1>z2.
③任意两个复数都不能比较大小．
【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若 z1，z2不全为实数，则 z1，z2不能比较大小，错误；
③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．
答案：①
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