第01讲 空间向量与立体几何-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-10 22 4 4.44MB 37 页 3知币
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第01 讲 空间向量与立体几何
知识点 1 空间向量的有关概念
1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．
注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在
空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2. 表示法：
（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
（2）字母表示法：用字母表示，若向量 a的起点是 A，终点是 B，则 a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
3．几类特殊的空间向量
名称 定义 表示法
零向
量规定长度为 0的向量叫做零向量 记为 0
单位
向量 模为
1
的向量叫做单位向量 |a|＝1或|
AB|＝1
【考点目录】
【知识梳理】
相反
向量 与向量 a长度相等而方向相反的向量，叫做 a的相反向量 记为－ a
共线
向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫
做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有
0∥a
a∥b或
AB∥CD
相等
向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同
一向量或相等向量
a＝b或
AB＝CD
知识点 2 空间向量的线性运算
（一）空间向量的加减运算
加法运算
三角形
法则
语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和
图形叙述
平行四边形法则
语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和
图形叙述
减法运算 三角形
法则
语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量
图形叙述
加法运算
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
（二）空间向量的数乘运算
定义 与平面向量一样，实数 λ与空间向量 a的乘积 λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘
几何意义
λ>0 λa 与向量 a的方向相同
λa 的长度是 a的长度的| λ | 倍
λ<0 λa 与向量 a的方向相反
λ＝0λa＝0，其方向是任意的
运算律
结合律 λ(μa)＝(λμ)a
分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
知识点 3　共线向量与共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
共线(平行)向量 共面向量
定
义
表示若干空间向量的有向线段所在的直线
互相平行或重合，这些向量叫做共线向量
或平行向量
注：规定：零向量与任意向量平行，即对
任意向量 a，都有 0∥a.
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充
要
条
件
共线向量定理：对于空间任意两个向量
a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数 λ
使a＝λb.
注：（1）
存在唯一实数
，使得 ；（2）存在唯一实数
，使得 ，则 ．注意：
不可丢掉，否则实数
就不唯一．
共面向量定理：若两个向量 a，b不共线，则向量 p与
向量 a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使 p＝xa＋yb.
对空间任一点 O，OP＝xOA＋yOB (x＋y
＝1)．
1、空间一点 P位于平面 ABC 内的充要条件：存在有序
实数对(x，y),使AP＝xAB＋yAC或对空间任意一点 O，
有OP＝OA＋xAB＋yAC.
2、空间中 四点共面的充要条件是存在有序
实数对 ，使得对空间中任意一点 ，都有
用
途
共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平
行）
②证明三点共线。
注意：证明平行时，先从两直线上取有向
线段表示两个向量，然后利用向量的线性
运算证明向量共线，进而可以得到线线平
行，这是证明平行问题的一种重要方法。
共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）。
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