2023年中考数学高频考点突破-二次函数与四边形

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2023 年中考数学高频考点突破-二次函数与四边形

一、综合题

1．已知，如图抛物线

y=a x2+3ax +c(a>0)

与y轴交于点 C，与 x轴交于 A，B两点，点 A在点 B

左侧.点B的坐标为

(1，0)

，

OC=3OB

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 D是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 AOCD 面积的最大值；

（3）若点 E在x轴上，点 P在抛物线上.是否存在以 A，C，E，P为顶点且以 AC 为一边的平行四

边形？若存在，请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.

2．如图，在平面直角坐标系中，直线

y=2x+6

与x轴交于点 A，与 y轴交点 C，抛物线

y=−2x2+bx +c

过A，C两点，与 x轴交于另一点 B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在直线

上方的抛物线上有一动点 E，连接

，与直线

相交于点 F，当

EF=1

2BF

时，

求E点坐标．

（3）在（2）的条件下，若点 E位于对称轴左侧，点 M是抛物线对称轴上一点，点 N是抛物线上

一点，当以 M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点 M的坐标．

3．在平面直角坐标系

xOy

中，已知四边形

OABC

是平行四边形，点

A(4，0)

，

∠AOC=6 0∘

，点 C

的纵坐标为

❑

√

，点 D是边 BC 上一点，连接

，将线段

绕点 O逆时针旋转

6 0∘

得到线段

，

给出如下定义：如果抛物线

y=a x2+bx (a≠ 0)

同时经过点 A，E，则称抛物线

y=a x2+bx (a≠ 0)

为

关于点 A，E的“伴随抛物线”．

（1）如图 1，当点 D与点 C重合时，点 E的坐标为　　，此时关于点 A，E的“伴随抛

物线”的解析式为　　；

（2）如图 2，当点 D在边

上运动时，连接

，

①当

取最小值时，求关于点 A，E的“伴随抛物线”的解析式；

②若关于点 A，E的“伴随抛物线”

y=a x2+bx (a≠ 0)

存在，直接写出 a的取值范围．

4．如图所示，在坐标系 xOy 中，抛物线 y＝﹣

x2+bx+c 与x轴交于点 A，B，与 y轴交于点 C，直

线y＝x+8 经过 A，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 AC 上方的抛物线上有一动点 P．

①如图 1，当点 P运动到某位置时，以 AP，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线

上，求出此时点 P的坐标；

②如图 2，过点 O，P的直线 y＝kx（k＜0）交 AC 于点 E，若 PE：OE＝5：6，求 k的值．

5．如图，抛物线

y=a x2+bx +6

经过

A(−2，0)

、

B(4，0)

两点，与

轴交于点

，点

是抛物线上

一动点，设点

的横坐标为

m(1<m<4)

，连结

、

．

（1）求抛物线的函数表达式．

（2）当

△BCD

的面积等于

△AOC

的面积的

时，求

的值．

（3）当

m=2

时，若点

是

轴上一动点，点

是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点

，

使得以点

、

为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点

的的坐标；若不存

在，请说明理由．

6．已知抛物线

C1：y=−1

2(m2+1)x2−(m+1)x −1

与x轴有公共点．

（1）当 y随x的增大而增大时，求自变量 x的取值范围；

（2）将抛物线

先向上平移 4个单位长度，再向右平移 n个单位长度得到抛物线

（如图所

示），抛物线

与x轴交于点 A，B（点 A在点 B的右侧），与 y轴交于点 C．当 OC＝OA 时，求 n

的值；

（3）D为抛物线

的顶点，过点 C作抛物线

的对称轴 l的垂线，垂足为 G，交抛物线

于点

E，连接 BE 交l于点 F．求证：四边形 CDEF 是正方形．

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