2023年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题

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2023 年中考数学高频考点突破-二次函数与几何问题
1．如图，用
40 m
的篙色围成一个边靠墙的矩形场地，墙长
15 m
．垂直于墙的边长为
xm
．围成的矩
形场地的面积为
y m2
．
（1）求 y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；
（2）求这个矩形场地面积的最大值．
2．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 28m 长的篱笆
围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB=xm．
（1）若花园的面积为 192m2，求 x的值；
（2）若在 P处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15m 和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，
不考虑树的粗细），求花园面积 S的最大值．
3．如图，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去 4个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设
AE=BF=CG=DH=xcm，四边形 EFGH 的面积为 ycm2，
（1）求 y关于 x的函数表达式和自变量 x的取值范围；
（2）求四边形 EFGH 的面积为 3cm2时的 x值；
（3）四边形 EFGH 的面积可以为 1.5cm2吗？请说明理由．
4．某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案由四个全等的直角三角形和一个小
正方形拼接而成的大正方形，设小正方形的边长 m，直角三角形较短直角边长 n，且 n＝m 2﹣ ，大正
方形的面积为 S.
（1）求 S关于 m的函数关系式；
（2）若小正方形边长不大于 3，当大正方形面积最大时，求 m的值.
5．如图所示，将抛物线 y＝
1
2
x2沿x轴向右平移 2个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到新
的抛物线．
（1）直接写出新抛物线的解析式为　 　；
（2）设新抛物线交 x轴于 A、B两点，交 y轴于 C，顶点为 D，作 CE CD⊥交抛物线于 E，如图
所示，探究如下问题：
①求点 E的坐标；
②若一次函数 y＝kx+1 的图象与抛物线存在唯一交点且交对称轴交于点 F，连接 DE，猜测直线
DE 与对称轴的夹角和一次函数 y＝kx+1 的图象与对称轴的夹角之间的大小关系，并证明．
6．已知，在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，抛物线
(a ≠ 0)
分别交
x
轴
于
A
、
B
两点（点
A
在点
B
的侧），与
y
轴交于点
C
，连接
AC
，
tan∠ACO=1
3
.
（1）如图 1，求
a
的值；
（2）如图 2，
D
是
x
轴上一点（不与点
A
、
B
重合），过点
D
作
y
轴的平行线，交抛
物线于点
E
，交直线
CB
于点
F
.
①当点
D
在点
B
右侧时，连接 AF，当
AF=BE
时，求
AF
的长.
②当点
D
在运动时，若
DE
、
DF
、
EF
中有两条线段相等，求此时点
D
的坐标.
7．如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为 20 米的
篱笆围成．已知墙长为 18 米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x米．
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