21.3 实际问题与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

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21.3 实际问题与一元二次方程

1．列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．

（2）设：设出未知数．

（3）列：找出相等关系，列出方程．

（4）解：解方程，求出未知数的值．

（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．

（6）答：写出答案．

2．常见实际问题

（1）传播问题：

传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．

（2）平均增长（降低）率问题：

①设基数为，平均增长率为，则第一次增长后的值为，两次增长后的值为，依次类推，

次增长后的值为．

②设基数为，平均降低率为，则第一次降低后的值为，两次降低后的值为，依次类推，

次降低后的值为．

（3）几何图形面积问题：

几何图形应用题，关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出未知量与已知量的内在联系，

根据面积公式或体积公式列出方程．

（4）数字问题：

若一个两位数十位、个位上的数字分别为、，则这个两位数表示为；

若一个三位数百位、十位、个位上的数字分别为、、，则这个三位数表示为．

（5）单、双循环问题：

设参加队伍有个队，则单循环问题中总的比赛场数为场；双循环问题中总的比赛场数为

场．

（6）销售利润问题：

；；

；．

（7）存款利息问题：

；．

题型一：传播问题

1．肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有 225 人

感染，若设 1人平均感染 x人，依题意可列方程（）

A．1+x＝225 B．1+x2＝225

C．（1+x）2＝225 D．1+（1+x2 ）＝225

2．2020 年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全

球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有 256 人

患新冠肺炎，求：

（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？

（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

题型二：增长率问题

3．某种植基地 2016 年蔬菜产量为 80 吨，预计 2018 年蔬菜产量达到 100 吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜

产量的年平均增长率为 x，则可列方程为（　　）

A．80（1+x）2=100 B．100（1 x﹣）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100

4．随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以 5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东

5G基站的数量约 1.5 万座，计划到 2020 年底，全省 5G基站数是目前的 4倍，到 2022 年底，全省 5G基站数量将

达到 17.34 万座．

（1）计划到 2020 年底，全省 5G基站的数量是多少万座？；

（2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G基站数量的年平均增长率．

题型三：数字问题

5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的 6个数(如：

8，14，15，16，17，24)．如果圈出的 6个数中，最大数 x与最小数的积为 225，那么根据题意可列方程为(　　)

A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225

C．x(x16)=225﹣D．(x+8)(x8)=225﹣

6．一个两位数，个位上的数比十位上的数小 4，且个位数与十位数的平方和比这个两位数小 4，设个位数是 x，则

所列方程为(　　)

A．x2＋(x＋4)2＝10(x－4)＋x－4 B．x2＋(x＋4)2＝10x＋x＋4

C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4 D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4

题型四：营销问题

7．一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，

在每件盈利不少于25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1元，平均每天可多售出 2件.

（1）若降价 3元，则平均每天销售数量为________件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？

8．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过

市场调查发现，单价每降低 2元，则平均每天的销售可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利

2240 元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

题型五：工程问题

9．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启

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