21.2 解一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

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21.2 解一元二次方程

考点一．直接降次解一元二次方程

（1）依据平方根的意义，将形如的一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程．

（2）步骤：

①将方程转化为（或）的形式；

②分三种情况降次求解：

（ⅰ）当时，，；（ⅱ）当时，；（ⅲ）当时，方程无

实数根．

考点二．用配方法解一元二次方程

（1）定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．

（2）利用配方法解一元二次方程的一般步骤：

一移：将常数项移到方程等号的右边．

二除：如果二次项系数不是，将方程两边同时除以二次项系数，将其化为．

三配：方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方的形式．

四开：如果方程的右边是一个非负数，就可以直接降次解方程；如果是一个负数，则原方程无实数根．

（3）配方法解一元二次方程：

①配方后，化为型的方程，当时，可用直接开方法求解．

② 若时，方程有两相等的根，即，而不是一个根．

③ 为便于配方，配方前应把二次项系数化为 1 ，要注意出现只在方程一边加上一次项系数一半的平方这种错

误的情况．

考点三．用公式法解一元二次方程

（1）一元二次方程根的判别式：

一般地，式子叫做方程根的判别式，通常用希腊字母表示，即

．

①当 >0 时，方程有两个不相等的实数根，即．

②当 =0 时，方程有两个相等的实数根，即．

③当 <0 时，方程没有实数根．

（2）求根公式：

当时，方程的实数根可写为的形式，这个式子叫做一

元二次方程的求根公式．

（3）公式法解一元二次方程的步骤：

①把方程化为一般形式；②确定、、的值；③计算的值；

④当时，把、、的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当时，方程

没有实数根．

考点四．用因式分解法解一元二次方程

（1）当方程缺少一次项时，可考虑用平方差公式分解因式．

（2）当方程缺少常数项时，可考虑用提公因式法分解因式，且方程一定有一根为．

（3）当方程中含有括号时，不要急于去括号，应观察是否能看作整体，直接因式分解．

考点五．一元二次方程的根与系数的关系

如果方程有两个实数根，，那么，．

技巧归纳．选择合适的方法解一元二次方程

方法名称理论依据适用范围

直接降次法平方根的意义形如或的一元二

次方程

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解法

若，则

或

一边为，另一边易于分解成两个一次因式的积的

一元二次方程

（1）在没有规定解法时，解一元二次方程可以按下列次序选择解法：直接降次法→因式分解法→公式法→配

方法．

（2）如果二次项系数为，一次项系数为偶数，用配方法比较简单，否则，因其步骤较为烦琐，一般不用配方

法．

（3）．涉及两根的代数式的重要变形：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

题型一：用配方法解一元二次方程

1．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为（）

A．B．C．D．

2．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（）

A．B．C．2 D．

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