10.4.1随机变量及其分布列（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

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第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.4.1 随机变量及其分布列（题型战法）

知识梳理

一离散型随机变量的分布列

一般地，当离散型随机变量 X的取值范围是{x1，x2，…，xn}时，如果对任意 k{1∈，2，…，n}，概率

P(X=xk)=pk都是已知的，则称 X的概率分布是已知的.

离散型随机变量 X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为 X的概率分布或分布列.

X x1x2…xk…xn

P p1p2…pk…pn

二二项分布与超几何分布

1.独立重复试验

在相同条件下重复做 n次伯努利试验时，人们总是约定这 n次试验是互相独立的，此时这 n次伯

努利试验也常称为 n次独立重复试验.

2.二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 p，记 q=1-p，且 n次独立重复试验中出现

“成功”的次数为 X，则 X的取值范围是{0，1，2，…，k，…，n}，而且 P(X=k)=

，k=0，1，2，…，n，X的分布列为：

0 1

⋯

X服从参数为 n，p的二项分布，记作 X～B(n，p)

3．超几何分布

一般地，若有总数为 N件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M件(M<N)，从所有物品中随机取出 n

件(n≤N)，则这 n件中所含甲类物品数 X是一个离散型随机变量，X能取不小于 t且不大于 s的所

有自然数，其中 s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N-M)时取 0，否则 t取n

减乙类物品件数之差(即t=n-(N-M))，而且 P(X=k)=，k=t，t+1，…，s，这里的 X称为服

从参数 N，n，M的超几何分布，记作 X~H(N，n，M).

如果 X~H(N，n，M)且n+M-N≤0，则 X能取所有不大于 s的自然数，此时 X的分布列如下表:

0 1

⋯

三随机变量的数字特征

1、均值

（1）定义：一般地，由离散型随机变量 X的分布列 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn= xipi为离散型随机

变量 X的均值或数学期望(简称为期望).

（2）常见的均值

①若离散型随机变量 X服从参数为 n和p的二项分布，即 X~B(n，p)，则 E(X)=np.

②若离散型随机变量 X服从参数为 N，n，M的超几何分布，即 X~H(N，n，M)，则 E(X)=

（3）性质：已知 X是一个随机变量，设都是实数且则 Y + 也是一个随机变量，

那么，

(

)

=aE

(

)

+b .

2.方差

（1）定义：由离散型随机变量 X的分布列

D(X)=¿

叫做这个离散型随机变量 X的方

差；称为离散型随机变量 X的标准差.离散型随机变量 X的方差和标准差反映了离散型随机变量取

值相对于均值的离散程度(或波动大小).

（2）常见的方差

①若离散型随机变量 X服从参数为 n和p的二项分布，即 X~B(n，p)，则 D(X)=np（1-p）.

（3）性质：已知 X是一个随机变量，设都是实数且则 Y + 也是一个随机变量，

那么，

(

)

=a2D

(

)

四正态分布

1.正态曲线

(1)定义:一般地，函数 φ(x)=对应的图像称为正态曲线(也称“钟形曲线”，φ(x)也常记

为φμ，σ(x).其中 μ=E(X)，即 X的均值;σ= ，即 X的标准差.

(2)正态曲线的性质

①正态曲线关于 x=μ 对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点;

②正态曲线与 x轴所围成的图形面积为 1;

③σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”;σ

越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”.

2．正态分布

如果随机变量 X落在区间[a，b]内的概率，总等于对应的正态曲线 φμ

，

σ(x)与x轴在区间[a，b]内围

成的面积，则称 X服从参数为 μ 和σ的正态分布，记作 X~N(μ ，σ2 ).

μ 是X的平均值， σ是X的标准差，σ2是X的方差.

由正态曲线的性质及前面例题可知，如果 X~N(μ ，σ2 )，那么

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