10.3.1概率、条件概率与事件的独立性（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.3.1 概率、条件概率与事件的独立性（题型战法）
知识梳理
一 概率
1. 随机事件：在一定条件下，某种现象可能发生也可能不发生。
2．必然事件：在一定条件下必然会发生的某种结果的现象。
3．不可能事件：在同样的条件下，重复进行试验，结果始终不会发生的事件。
4．事件：必然事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母 A,B,C… 来表示。
5. 基本事件：在试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示。
6. 基本事件空间：所有基本事件构成的集合，用大写希腊字母
Ω
来表示。
7. 概率与频率：一般地，在 n 次重复进行的试验中，事件 A 发生的频率为
m
n
，随着 n 的增加，
频率总是在某个常数附近摆动，把这个常数叫做事件 A 发生的概率。
8. 互斥事件：不可能同时发生的两个事件。
9. 对立事件：不可能同时发生且必有一个发生的两个事件。对立事件是互斥事件的特例。
10.古典概型的概念：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可
能性均相等，这种条件下的概率模型就叫古典概型。古典概型具备两个特点：（1）试验结果的
有限性；（2）所有结果的等可能性。每个事件发生的概率都是
1
n
。
11.古典概型的解题步骤：①求出总的基本事件数；②求出事件 A所包含的基本事件数，然后利用
公式 。
12.概率加法公式：
（1）若 A，B是互斥事件：
P(A∪B)=P(A)+P(B)
（2）若 A，B不是互斥事件：
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
二 条件概率
1.条件概率的定义：对于任何两事件 在已知事件 发生的条件下，事件 发生的概率叫条件概率，
用符号 来表示，其公式为 ．
2.条件概率的性质：
①.
②如果 B和C是两个互斥事件，则
3. 乘法公式：有条件概率公式 可得， ；
这就是说时间 A发生的概率以及在时间 A发生的前提下时间 B发生的概率，可以求时间 AB 同时发生的概
率，这个结论即为乘法公式。
4.全概率公式：若事件 A1，A2，…构成一个完备事件组且都有正概率，则对任意一个事件 B，有如下公式
成立：
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即为全概率公式。
三 事件的独立性
如果 ,那么一定有 .所以当 时，A 与 B 独立的充要条件是
。
当 时，时间 A的发生会影响时间 B发生的概率，此时时间 A与时间 B不是独立的，事
实上，“A与B独立”也被说成“A与B互不影响”等。
题型战法
题型战法一 随机事件、频率与概率、生活中的概率
典例 1．已知袋中有大小、形状完全相同的 4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取 4个，则下
列判断错误的是（）
A．事件“都是红色球”是随机事件
B．事件“都是白色球”是不可能事件
C．事件“至少有一个白色球”是必然事件
D．事件“有 3个红色球和 1个白色球”是随机事件
【答案】C
【分析】对事件分类，利用随机事件的定义直接判断即可．
【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的 4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取 4个球
共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况.
故事件“都是红色球”是随机事件，故 A正确；
事件“都是白色球”是不可能事件，故 B正确；
事件“至少有一个白色球”是随机事件，故 C错误；
事件“有 3个红色球和 1个白色球”是随机事件，故 D正确．
故选：C
变式 1-1．有下列事件：
①如果 ，那么 ；
②某人射击一次，命中靶心；
③任取一实数 a（ 且 ），函数 是增函数；
④从装有 1个白色小球、2个红色小球的袋子中，摸出1个小球，观察结果是黄球．
其中是随机事件的有（）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
【答案】D
【分析】根据随机事件的定义分析判断即可.
【详解】对于①，当 时， 一定成立，是必然事件，
对于②，某人射击一次，有可能命中靶心，所以②是随机事件，
对于③，任取一实数 a（ 且 ），若 ，则函数 是增函数，若 ，则函数
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