10.2.1二项式定理（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布列
10.2.1 二项式定理（题型战法）
知识梳理
一 二项式定理的基本概念
（1）二项式展开式有 （2）二项式系数：
（3）项的系数：包括符号和前面的常数 （4）通项：
二 二项式定理的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即
（2）当 时，二项式系数逐渐增大；当 时，二项式系数逐渐减小。
（3）二项式系数的最大值
当 是偶数时，中间一项（第 项）的二项式系数最大，最大值 ；
当 是奇数时，中间两项（第 项和第 项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，
最大值为 或 。
（4）各二项式系数的和
的展开式的各二项式系数的和等于 ，即 ；二项展开式中
奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为 。
（5）各项系数的问题
，则各项系数之和为 。奇数项系数之和 ；
偶数项系数之和 。
题型战法
题型战法一 求指定项的二项式系数与系数
典例 1．在 的二项展开式中，第 4项的二项式系数是（）
A．20 B．C．15 D．
【答案】A
【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可.
【详解】解：第 4项的二项式系数为 .
故选:A
变式 1-1． 的展开式中含 项的二项式系数为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出二项式展开式的通项，令 的指数位置等于 求得 的值，即可求解.
【详解】 的展开式的通项为： ，
令 可得 ，
所以含 项的二项式系数为 ，
故选：D.
变式 1-2． 的展开式中 的系数为（）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【分析】由二项展开式的通项公式代入即可解决.
【详解】二项式展开式的通式为 ，
由 ，得 r＝2，此时
即 的展开式中 的系数为 40
故选：C
变式 1-3． 展开式的常数项为（）
A．120 B．60 C．30 D．15
【答案】B
【分析】根据二项式展开公式得 =，令 ，解出 的值，代入计算即可.
【详解】解：因为 = = ，
令 ，解得 ,
所以常数项为 =60.
故选：B.
变式 1-4． 的展开式中所有有理项的系数和为（）
A．85 B．29 C．D．
【答案】C
【分析】写出通项后可得有理项，进一步计算可得结果.
【详解】展开式的通项为：
，其中 ，
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