9.10统计概率和其他专题综合（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.10 统计概率和其他专题综合

【题型解读】

【题型精讲】

【题型一　统计概率和函数综合】

例1　（2022·华师大二附中高三练习）体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液采

样进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病;若结果呈阴性，则未患有该疾病．对于份血

液样本，有以下两种检验方式:一是逐份检验，则需检验次.二是混合检验，将份血液样本分

别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了﹔如果检

验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，则份

血液检验的次数共为次.已知每位体检人未患有该疾病的概率为，而且各体检

人是否患该疾病相互独立.

（1）若，求 3位体检人的血液样本混合检验结果为阳性的概率;

（2）某定点医院现取得 6位体检人的血液样本，考虑以下两种检验方案:

方案一:采用混合检验;

方案二:平均分成两组，每组 3位体检人血液样本采用混合检验.

若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.试问方案一、二哪个更“优”?请说明理由.

【答案】见解析

【解析】（1）解：该混合样本阴性的概率是，

根据对立事件可得，阳性的概率为

（2）解：方案一:混在一起检验，方案一的检验次数记为，则的可能取值为

，其分布列为:

1 7

则，

方案二:由题意分析可知，每组 3份样本混合检验时，若阴性则检测次数为 1，概率为，

若阳性，则检测次数,4，概率为，

方案二的检验次数记为，则的可能取值为，

;

其分布列为:

2 5 8

则，

，

当或时，可得，所以方案一更“优”

当或时，可得，所以方案一、二一样“优”

当时，可得，所以方案二更“优”.

例2　为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各

自抽取 100 件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示：

减排器等级及利润率如下表，其中．

综合得分的范围减排器等级减排器利润率

一级品

二级品

三级品

（1）若从这 100 件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取 10 件，再从这 10 件产品中随机抽取 4 件，

求至少有 2 件一级品的概率；

（2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则：

①若从乙型号减排器中随机抽取 3 件，求二级品数的分布列及数学期望；

②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？

【答案】（1）；（2）①二级品数的分布列见详解，；②投资乙型号减排器的平均利润率较

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