9.9超几何分布、二项分布和正态分布（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.9 超几何分布、二项分布和正态分布

【题型解读】

【知识储备】

一、二项分布

1．伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验称

为n

重伯努利试验．

2．二项分布

一般地，在 n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p(0<p<1)，用 X表示事件 A发生的次数，

则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量 X服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p (1 － p ) ．

(2)若X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np (1 － p ) ．

二、超几何分布

一般地，假设一批产品共有 N件，其中有 M件次品．从 N件产品中随机抽取 n件(不放回)，用 X表示抽取

的n件产品中的次品数，则 X的分布列为

P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X服从超几何分布．

三、正态分布

1．定义

若随机变量 X的概率分布密度函数为 f(x)＝·，x∈R，其中 μ∈R，σ>0 为参数，

则称随机变量 X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2

) ．

2．正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ

对称；

(2)曲线在 x ＝ μ

处达到峰值；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x轴．

3．3σ原则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝μ，D(X)＝σ 2

【题型精讲】

【题型一　超几何分布】

必备技巧求超几何分布的分布列的步骤

（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；

（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

（3）列出分布列．

例1　（2022·华师大二附中高三练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B两种套餐的集

团用户进行调查，准备从本市 n（）个人数超过 1000 人的大集团和 4个人数低于 200 人的小集团中

随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取 2个集团，全是小集团的概率为 .

(1)在取出的 2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；

(2)若一次抽取 3个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X的分布列和期望.

例2　北京某高校有 20 名志愿者报名参加 2022 年北京冬奥会服务工作，其中有 2名老师，18 名学生.若从

中随机抽取名志愿者，用 X表示所抽取的 n名志愿者中老师的人数.

(1)若，求 X的分布列与数学期望；

(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?

【题型精练】

1. （2022·贵州省思南中学高三月考）某班利用课外活动时间举行了一次“函数求导比赛”活动，为了解

本次比赛中学生的总体情况，从中抽取了甲、乙两个小组的样本分数的茎叶图如图所示.

（1）分别求出甲、乙两个小组成绩的平均数与方差，并判断哪个小组的成绩更稳定？

（2）从甲组同学成绩不低于 70 分的人中任意抽取 3人，设表示所抽取的 3名同学的得分在的人

数，求的分布列及数学期望.

2．（2022·全国高三课时练习）北京时间 2022 年7月25 日3时13 分，问天实验舱成功对接于天和核心舱

前向端口，2022 年7月25 日10 时03 分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天

实验舱.8 月，中国空间站第 2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10 月发射.中国空

间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多

学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空

发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等 10 个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正

常运行即为程序正确.每位参赛者从 10 个不同的题目中随机选择 3个进行编程，全部结束后提交评委测试，

若其中 2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知 10 个程序中，甲只能正确完成其中 6个，乙正确完成每

个程序的概率为 0.6，每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数 X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

【题型二　二项分布】

例3　（2022·四川模拟）金坛区主城区全新投放一批共享电动自行车．本次投放的电动自行车分红、绿两

种，投放比例是3∶1．监管部门为了了解这两种颜色电动自行车的性能，决定从中随机抽取 4辆电动自行

车进行骑行体验，假设每辆电动自行车被抽取的可能性相等．

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