9.9超几何分布、二项分布和正态分布（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.9 超几何分布、二项分布和正态分布

【题型解读】

【知识储备】

一、二项分布

1．伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行 n次所组成的随机试验称

为n

重伯努利试验．

2．二项分布

一般地，在 n重伯努利试验中，设每次试验中事件 A发生的概率为 p(0<p<1)，用 X表示事件 A发生的次数，

则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X服从二项分布，记作 X ～ B ( n ， p ) ．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量 X服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p (1 － p ) ．

(2)若X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np (1 － p ) ．

二、超几何分布

一般地，假设一批产品共有 N件，其中有 M件次品．从 N件产品中随机抽取 n件(不放回)，用 X表示抽取

的n件产品中的次品数，则 X的分布列为

P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量 X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量 X服从超几何分布．

三、正态分布

1．定义

若随机变量 X的概率分布密度函数为 f(x)＝·，x∈R，其中 μ∈R，σ>0 为参数，

则称随机变量 X服从正态分布，记为 X ～ N ( μ ， σ 2

) ．

2．正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ

对称；

(2)曲线在 x ＝ μ

处达到峰值；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近 x轴．

3．3σ原则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝μ，D(X)＝σ 2

【题型精讲】

【题型一　超几何分布】

必备技巧求超几何分布的分布列的步骤

（1）验证随机变量服从超几何分布，并确定参数，，的值；

（2）根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；

（3）列出分布列．

例1　（2022·华师大二附中高三练习）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B两种套餐的集

团用户进行调查，准备从本市 n（）个人数超过 1000 人的大集团和 4个人数低于 200 人的小集团中

随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取 2个集团，全是小集团的概率为 .

(1)在取出的 2个集团是同一类集团的情况下，求全为大集团的概率；

(2)若一次抽取 3个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X的分布列和期望.

【解析】（1）由题意知共有个集团，取出 2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，

故全是小集团的概率是，

整理得到即，解得．

若2个全是大集团，共有种情况；

若2个全是小集团，共有种情况；

故在取出的 2个集团是同一类集团的情况下，全为大集团的概率为．

（2）由题意知，随机变量的可能取值为，

计算，，

，，

故的分布列为：

0 1 2 3

数学期望为．

例2　北京某高校有 20 名志愿者报名参加 2022 年北京冬奥会服务工作，其中有 2名老师，18 名学生.若从

中随机抽取名志愿者，用 X表示所抽取的 n名志愿者中老师的人数.

(1)若，求 X的分布列与数学期望；

(2)当n为何值时，的概率取得最大值?最大值是多少?

【解析】（1）当时，X的所有可能取值为 0，1，2，

则，，，

所以 X的分布列为

X012

（2）的概率为，，且 .

因为，当且仅当，即时等号成立，

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