9.8离散型随机变量及其分布列、数字特征（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.8 离散型随机变量及其分布列、数字特征

【题型解读】

【知识储备】

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间 Ω中的每个样本点 ω，都有唯一的实数 X(ω)与之对应，我们称 X为随机变

量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量 X的可能取值为 x1，x2，…，xn，称 X取每一个值 xi的概率 P(X＝xi)＝pi，i＝

1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；

②p1＋p2＋…＋pn＝1.

4．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量 X的分布列为

X x1x2…xn

P p1p2…pn

(1)均值

则称 E(X)＝x1p1＋ x 2p2＋ … ＋ x npn＝ipi为随机变量 X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散

型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量 X的方差，并称为随机

变量 X的标准差，记为 σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度．

5．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE ( X ) ＋ b .

(2)D(aX＋b)＝a 2

D ( X ) (a，b为常数)．

常用结论

均值与方差的四个常用性质

(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中 k为常数．

(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

(4)若X1，X2相互独立，则 E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．

【题型精讲】

【题型一　分布列的性质】

必备技巧离散型随机变量的分布列性质的应用

（1）利用“总概率之和为 ”可以求相关参数的取值范围或值；

（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概率；

（3）可以根据性质及，判断所求的分布列是否正确．

例1　（2022·华师大二附中高三练习）设离散型随机变量的分布列为：

则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由题意，有，且，，解得，

故选：B.

例2　已知随机变量 X的概率分布为，则实数 ______．

【答案】

【解析】依题意，，

由分布列的性质得，解得，

所以实数 .

故答案为：

【题型精练】

1. （2022·河南高三月考）随机变量 X的分布列为

若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．

【答案】

【解析】由题意知，，

∴ ，∴ ．

又，∴ ，∴ ．

同理，由，，∴ ，

∴ ，即公差的取值范围是

故答案为：

2．（2022·全国高三课时练习）设随机变量的分布列为，则 ___

________.

【答案】

【解析】由题意，，所以

，得，所以

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