9.7事件的相互独立性和条件概率（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.7 事件的相互独立性和条件概率
【题型解读】
【知识储备】
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件 A与B，如果 P(AB)＝P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件 A与事件 B相互独立，简称为独
立．
(2)性质：若事件 A与B相互独立，那么 A与，与 B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设 A，B为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝为在事件 A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P ( A ) P ( B | A ) ．
3．全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则
对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
4. 贝叶斯公式
（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理 若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
【题型精讲】
【题型一　相互独立事件的概率】
例1　 （2022·华师大二附中高三练习）某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为 ，且每次命中与
否相互独立，则他连续射击 3次，至少命中两次的概率为（yyy）
A．B．C．D．
例2　（多选题）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计
划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相
互独立，则（yyyy）
A．三人选择社团一样的概率为
B．三人选择社团各不相同的概率为
C．至少有两人选择篮球社的概率为
D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
例3　（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3人组成甲乙两
支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1分，答错或不答都得 0分，己知甲队 3人每人答
对的概率分别为 ，乙队每人答对的概率都是 ，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 X表示
甲队总得分.
(1)求 的概率；
(2)求甲队和乙队得分之和为 4的的概率.
【题型精练】
1. （2022·河南高三月考）有 6个相同的球，分别标有数字 1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次
取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是 1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是 2”，丙表
示事件“两次取出的球的数字之和是 8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是 7”，则(　　)
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
2．（2022·全国高三课时练习）“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， ，
，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1人去北京旅游的概率为（yyyy）
A．B．C．D．
3．（2022·枣庄模拟）女排世界杯比赛采用 5局3胜制，前 4局比赛采用 25 分制，每个队只有赢得至少
25 分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用 15 分制，每个队只有赢得至少 15 分，
并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方
不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.
(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为 ，求甲队最后赢得整场
比赛的概率；
(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为 14 分，且甲
已获得下一发球权.若甲发球时甲赢 1分的概率为 ，乙发球时甲赢 1分的概率为 .求甲队在 4个球以内
（含4个球）赢得整场比赛的概率.
【题型二　条件概率】
必备技巧 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
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