9.7事件的相互独立性和条件概率（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.7 事件的相互独立性和条件概率
【题型解读】
【知识储备】
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件 A与B，如果 P(AB)＝P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件 A与事件 B相互独立，简称为独
立．
(2)性质：若事件 A与B相互独立，那么 A与，与 B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设 A，B为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝为在事件 A发生的条件下，事件
B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝P ( A ) P ( B | A ) ．
3．全概率公式
一般地，设 A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则
对任意的事件 B⊆Ω，有 P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
4. 贝叶斯公式
（1）一般地，当 且 时，有
（2）定理 若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ；
③ ， ．
则对 中的任意概率非零的事件 ，都有 ，
且
【题型精讲】
【题型一　相互独立事件的概率】
例1　 （2022·华师大二附中高三练习）某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为 ，且每次命中与
否相互独立，则他连续射击 3次，至少命中两次的概率为（yyy）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为每次命中目标的概率均为 ，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击 3次，至少命中两次的概率 ，
故选：A.
例2　（多选题）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计
划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为 ，且每人选择相
互独立，则（yyyy）
A．三人选择社团一样的概率为
B．三人选择社团各不相同的概率为
C．至少有两人选择篮球社的概率为
D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
【答案】ACD
【解析】对于 A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事
件的和，它们互斥，
三人选择社团一样的概率为 ，A正确；
对于 B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从 3个社团中任选 1个，小李从余下两个中任选 1个，
最后 1个社团给小张的事件，共 6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为 ，B不正
确；
对于 C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有 2人选篮球社与 3人都选篮球社的事件和，其概率为
，C正确；
对于 D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为 A，由选项 C知， ，小王选择羽毛球社的事件为
B，
则事件 AB 是含小王只有 2人择羽毛球社的事件和 3人都择羽毛球社的事件和，其概率
，
所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为 ，D正确.
故选：ACD
例3　（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3人组成甲乙两
支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1分，答错或不答都得 0分，己知甲队 3人每人答
对的概率分别为 ，乙队每人答对的概率都是 ，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 X表示
甲队总得分.
(1)求 的概率；
(2)求甲队和乙队得分之和为 4的的概率.
【解析】（1） ，则甲队有两人答对，一人答错，
故.
（2）设甲队和乙队得分之和为 4为事件 A，设乙队得分为 Y，则 .
，
，
， ，
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