9.6事件、概率、古典概型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.6 事件、概率、古典概型
【题型解读】
【知识储备】
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验 E的每个可能的基本结果称为样本点，常用 ω表示．
全体样本点的集合称为试验 E的样本空间，常用 Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有 n个可能结果 ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω＝{ω1，ω2，
…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间 Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母 A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致 B发生 A ⊆ B
相等关系 B⊇A且A⊇B A ＝ B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件)A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容)A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A ∩ B ＝ ∅ ，A ∪ B ＝ Ω
3.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数 n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事
件A发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率 fn(A)估计概率 P(A)．
4．古典概型
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验 E是古典概型，样本空间 Ω包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个样本点，则定义事件
A的概率 P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件 A和样本空间 Ω包含的样本点个数．
6．概率的性质
性质 1：对任意的事件 A，都有 P(A)≥0；
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质 3：如果事件 A与事件 B互斥，那么 P(A∪B)＝P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质 4：如果事件 A与事件 B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1 － P ( B ) ；
性质 5：如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为∅⊆A⊆Ω，所以 0≤P(A)≤1.
性质 6：设 A，B是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
【题型精讲】
【题型一　事件与事件的关系与运算】
例1　 （2022·华师大二附中高三练习）在 1,2,3，…，10 这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这
三个数字的和大于 5”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
例2　口袋中装有 3个红球和 4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出 3个球，则互斥而不对立的事
件是(　　)
A．至少有 1个红球与至少有 1个黑球
B．至少有 1个红球与都是黑球
C．至少有 1个红球与至多有 1个黑球
D．恰有 1个红球与恰有 2个红球
例3　（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件 “向上的点数
为 ”， “向上的点数为 ”， “向上的点数为 或 ”，则有（ ）
A．B．C．D．
【题型精练】
1. （2022·河南高三月考）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为 i”，其中 i
＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是(　　)
A.1⊆B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与对立
2．（2022·全国高三课时练习）（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A
＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚
炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A⊆DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
3．（2022·枣庄模拟）（多选题）一批产品共有 100 件，其中 5件是次品，95 件是合格品．从这批产品中
任意抽取 5件，给出以下四个事件：
事件 A：恰有一件次品；
事件 B：至少有两件次品；
事件 C：至少有一件次品；
事件 D：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A．B． 是必然事件
C．D．
【题型二　频率与概率】
必备技巧 概率和频率的关系
概率和频率的关系：概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 ，
它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作
随机事件的概率．
例4　（2022·四川模拟）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米
1423 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 268 粒内夹谷32 粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157 石B．164 石C．170 石D．280 石
例5　（2022·武昌模拟）某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保
人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a1.5a1.75a2a
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