9.6事件、概率、古典概型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 14 4 2.54MB 14 页 3知币
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9.6 事件、概率、古典概型
【题型解读】
【知识储备】
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和有限样本空间
①样本点：随机试验 E的每个可能的基本结果称为样本点，常用 ω表示．
全体样本点的集合称为试验 E的样本空间，常用 Ω表示．
②有限样本空间：如果一个随机试验有 n个可能结果 ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间 Ω＝{ω1，ω2，
…，ωn}为有限样本空间．
(2)随机事件
①定义：将样本空间 Ω的子集称为随机事件，简称事件．
②表示：大写字母 A，B，C，….
③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致 B发生 A ⊆ B
相等关系 B⊇A且A⊇B A ＝ B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件)A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容)A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生 A ∩ B ＝ ∅ ，A ∪ B ＝ Ω
3.频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，随着试验次数 n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件 A发生的频率 fn(A)会逐渐稳定于事
件A发生的概率 P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．
(2)频率稳定性的作用：可以用频率 fn(A)估计概率 P(A)．
4．古典概型
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
一般地，设试验 E是古典概型，样本空间 Ω包含 n个样本点，事件 A包含其中的 k个样本点，则定义事件
A的概率 P(A)＝＝.
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件 A和样本空间 Ω包含的样本点个数．
6．概率的性质
性质 1：对任意的事件 A，都有 P(A)≥0；
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质 3：如果事件 A与事件 B互斥，那么 P(A∪B)＝P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质 4：如果事件 A与事件 B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1 － P ( B ) ；
性质 5：如果 A⊆B，那么 P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为∅⊆A⊆Ω，所以 0≤P(A)≤1.
性质 6：设 A，B是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P ( A ) ＋ P ( B ) － P ( A ∩ B ) ．
【题型精讲】
【题型一　事件与事件的关系与运算】
例1　 （2022·华师大二附中高三练习）在 1,2,3，…，10 这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这
三个数字的和大于 5”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
【答案】A
【解析】从1,2,3，…，10 这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为 1＋2＋3＝
6，
∴事件“这三个数字的和大于 5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．
例2　口袋中装有 3个红球和 4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出 3个球，则互斥而不对立的事
件是(　　)
A．至少有 1个红球与至少有 1个黑球
B．至少有 1个红球与都是黑球
C．至少有 1个红球与至多有 1个黑球
D．恰有 1个红球与恰有 2个红球
【答案】D
【解析】对于 A，不互斥，如取出 2个红球和 1个黑球，与至少有 1个黑球不是互斥事件，所以 A不符合
题意；
对于 B，至少有 1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中 1个发生．所以为互斥事件，且为对立事
件，所以 B不符合题意；
对于 C，不互斥．如取出 2个红球和 1个黑球，与至多有 1个黑球不是互斥事件，所以 C不符合题意；
对于 D，恰有 1个红球与恰有 2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有 3个红球．
例3　（2022·浙江省桐庐中学高三阶段练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，若事件 “向上的点数
为 ”， “向上的点数为 ”， “向上的点数为 或 ”，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于 A：事件 “向上的点数为 ”发生，事件 “向上的点数为 ”一定不发生，故选项 A
不正确；
对于 B：事件 “向上的点数为 或 ”发生，事件 “向上的点数为 ”不一定发生，但事件
“向上的点数为 ”发生，事件 “向上的点数为 或 ” 一定发生，所以 ，故选项 B不正确；
对于 C：事件 和事件 不能同时发生， ，故选项 C不正确；
对于 D：事件 “向上的点数为 ”或事件 “向上的点数为 ”发生，则事件 “向上的点数为
或 ”发生，故选项 D正确；
故选：D
【题型精练】
1. （2022·河南高三月考）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为 i”，其中 i
＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是(　　)
A.1⊆B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与对立
【答案】C
【解析】对于 A，1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，
∴B⊆1，故 A错误；
对于 B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故 B错误；
对于 C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故 C正确；
对于 D，A4＝{4}，＝{1,3,5}，A4与是互斥但不对立事件，故 D错误．
2．（2022·全国高三课时练习）（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设 A
＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚
炮弹击中飞机”，下列关系正确的是（ ）
A．A⊆DB．B∩D＝
C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D
【答案】ABC
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