9.5二项式定理5大题型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.5 二项式定理 5大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C a n
＋ C a n
－
1
b ＋ … ＋ C a n
－
k
b k
＋ … ＋ C b n
( n ∈ N *
) ；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第 k ＋ 1
项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为 C ， C ， … ， C .
1项数为 n＋1.
2各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a与b的指数的和为 n.
3字母 a按降幂排列，从第一项开始，次数由 n逐项减 1直到零；字母 b按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增 1直到 n.
2．二项式系数的性质
[常用结论]
若二项展开式的通项为 Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项．
【题型精讲】
【题型一　求特定项的系数】
方法技巧 三项式 的展开式：
若令 ，便得到三项式 展开式通项公式
，其中 叫三项式系数．
例1　 （2022·华师大二附中高三练习） 若 ，则 　
．
【答案】-56
【解析】由题意可知， ， 展开式的通项公式为
，
由 ，得出求的项是 .
令 ，解得 ，所以 .故答案为：-56.
例2　在 的展开式中， 的系数是　 　．
【答案】-189
【解析】由二项式定理知 的展开式的通项为：
，
令 ，解得 ，
所以 的系数是 ，故答案为：-189.
例3　（2022·江西模拟）在 的展开式中，含 的项的系数是（　　）
A．10 B．12 C．15 D．20
【答案】A
【解析】因为 的展开式为 ，
的展开式为 和 的和，
； ，
所以在 中令 ，即可得到 的项的系数，是 ，
故答案为：A.
【题型精练】
1. （2022·河南高三月考）在 的展开式中， 项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 展开式中，通项 ．
令 ，得 ，故展开式中 项的系数为 .故选：C.
2．（2022·全国高三课时练习） 展开式中二项式系数和为___________，展开式中常数项为______
_____.
【答案】64
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