9.4排列、组合中的10大技巧（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.4 排列、组合中的 10 大技巧

【题型解读】

【知识储备】

1.排列与排列数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一

个排列．从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素

的排列数，用符号表示．

（2）排列数的公式：．

特例：当时，；规定：．

（3）排列数的性质：

① ；② ；③ ．

（4）解排列应用题的基本思路：

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件（特殊位置，特殊元素）．

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，常用于

具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用．

2.组合与组合数

（1）定义：从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一

个组合．从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素

的组合数，用符号表示．

（2）组合数公式及其推导

求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：

第一步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数；

第二步，求每一个组合中个元素的全排列数；

根据分步计数原理，得到；

因此．

这里，，且，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：

．特例：．

（3）组合数的主要性质：① ；② ．

（4）组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

3. 解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素、位置优先法．

(2)相邻问题捆绑法．

(3)不相邻问题插空法．

(4)定序问题倍缩法．

(5)分排问题直排法．

(6)环排问题直排法

(7)至多、至少问题正难则反法

(8)不同元素平均分组倍除法

(9)相同元素分组分配隔板法

(10)“小集团”排列问题先整体后局部法．

【题型精讲】

【题型一　10 大技巧在排队问题中的应用】

方法技巧排列问题常用方法

1.简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.

2.特殊元素(特殊位置)优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置.

3.相邻问题捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列.

4.不相邻问题插空法：先把没有位置要求的元素排列好，再排不相邻的元素.

5.定序问题缩倍法（等概率问题缩倍法）先把所有的元素安排好，再缩小一定的倍数.

6.至少问题间接法：一般先考虑全部的排法，再排除不满足题意的排法.

例1　（2022·华师大二附中高三练习）有 7名同学，其中 3名男生、4名女生，求在下列不同条件下的

排法种数．

(1)选5人排成一排；

(2)全体站成一排，女生互不相邻；

(3)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；

(4)全体站成一排，其中甲不站在最左边，乙不站在最右边；

(5)男生顺序已定，女生顺序不定；

(6)站成三排，前排 2名同学，中间排 3名同学，后排 2名同学，其中甲站在中间排的中间位置；

(7)7 名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻；

(8)7 名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻．

【答案】(1)2520(2)144(3)3600(4)3720(5)840(6)720(7)960(8)240

【解析】（1）从 7人中选 5人排列，排法有（种）．

（2）先排男生，有种排法，再在男生之间及两端的 4个空位中排女生，有种排法．故排法共有

（种）．

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