9.3计数原理（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.3 计数原理

【题型解读】

【题型一　分类加法计数原理】

1.（2022·甘肃省会宁县第二中学高三期中）将编号 1，2，3，4 的小球放入编号为 1，2，3 的盒子中，要

求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（）

A．16 种 B．12 种 C．9 种 D．6 种

【答案】B

【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法

有：

当 1 与 2 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；

当 1 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； ^

当 1 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；

当 2 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；

当 2 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；

当 3 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；

因此，不同的放球方法有 12 种，故选 B.

2.（2022·全国高三课时练习）算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图 1），共两档，自

右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字，梁下五珠，上拨一珠记作数字

（如图 2 中算盘表示整数）．如果拨动图 1 算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，拨动三枚算珠，有种拨法：

①个位拨动三枚，有种结果：、；

②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有种结果：、、、；

③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有种结果：、、、；

④十位拨动三枚，有种结果：、．

综上，拨动题图 1 算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为．

故选：C.

3．（2022·博兴县第三中学高三月考）若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我

们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：232，114 等，则不超过 200 的“单重数”中，从小到大排

列第 22 个“单重数”是（）

A．166 B．171 C．181 D．188

【答案】B

【解析】由题意可得：不超过 200 的数，

两个数字一样同为 0 时，有 100，200 有 2 个，

两个数字一样同为 1 时，有 110，101，112，121，113，131，一直到 191，119，共 18 个，

两个数字一样同为 2 时，有 122，有 1 个

同理，两个数字一样同为 3，4，5，6，7，8，9 时各 1 个，

综上，不超过 200 的“单重数”共有，

其中最大的是 200，较小的依次为 199，191，188，181，177，171，

故第 22 个“单重数”为 171，

故选：B.

4．（2022·四川乐山高三期末）从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，从甲地不

经过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地到丙地的走法种数（）

A．8 B．6 C．5 D．2

【答案】A

【解析】由题意分两种情况讨论：一是从甲地经过乙地到丙地，

因为从甲地到乙地有 3 条公路可走，从乙地到丙地有 2 条公路可走，

所以从甲地到丙地的走法有种，

二是从甲地不经过乙地到丙地，

因为从甲地不经过乙地到丙地有 2 条

所以从甲地到丙地的走法有 2 种，

故从甲地到丙地的走法共有种，

故选：A

5. （2022·山东济南高三期末）如图所示，在，间有四个焊接点 1，2，3，4，若焊接点脱落导致断

路，则电路不通．今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）

A．9 种 B．11 种 C．13 种 D．15 种

【答案】C

【解析】按焊接点脱落的个数分成 4 类：

脱落 1 个，有 1，4，共 2 种；

脱落 2 个，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共 6 种；

脱落 3 个，有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共 4 种；

脱落 4 个，有(1，2，3，4)，共 1 种，

由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种．

故选：C

【题型二　分步乘法计数原理】

1.（2022·全国高三课时练习）一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的

参观路线共有（）

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