9.3计数原理（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.3 计数原理

【题型解读】

【知识储备】

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有 n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法

……在第 n类办法中有 mn种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝m1＋ m 2＋ … ＋ m n

种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一个步骤有 m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同的方

法……做第 n个步骤有 mn种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝m1× m 2×…× m n

种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

4.两个计数原理的应用

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：

一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．

(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根

据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

【题型精讲】

【题型一　分类加法计数原理】

必备技巧分类加法计数原理

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同

的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

例1　 (2022·济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如

120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为(　　)

A．240 B．204 C．729 D．920

例2　(2022·青岛模拟)若椭圆＋＝1的焦点在 y轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆

的个数为________．

【题型精练】

1. （2022·华师大二附中高三期中）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组

成等差数列，这样的等差数列有（）个

A．98 B．56 C．84 D．49

2．（2022·全国高三课时练习）满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x的方程 ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序

数对(a，b)的个数为(　　)

A．14　　　　　　　　　　　 B．13

C．12 D．10

3．（2022·全国高三课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

【题型二　分步乘法计数原理】

必备技巧分步乘法计数原理

(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须

满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．

例3　(全国Ⅱ高考)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓

参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24 B．18 C．12 D．9

例4　（2022·云南师大附中高三模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出

于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方

白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规

则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为 7，则这

样的四位数有___________个

例5　（2022·全国高三期末）（多选题）有 4 位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（

）

A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种

B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种

C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24 种

D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种

【题型精练】

1．（2022·全国高三课时练习）核糖核酸(缩写为

RNA

)，存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传

信息载体，

RNA

由核糖核苷酸经磷酸二酯键缩合而成长链状分子，长链中每一个位置上都被一种称为碱基

的化学成分所占据，

RNA

的碱基主要有 4 种，分别用

，

表示．在一个

RNA

分子中，各种碱基能够

以任意次序出现，假设某一

RNA

分子由 100 个碱基组成，则不同的

RNA

分子的种数为( )

A． B． C． D．

2.（2022·安徽合肥一中高三开学考试）某校为了庆祝新中国成立 70 周年举办文艺汇演，原节目单上有

10 个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有（

）种

A．165 B．286 C．990 D．1716

3.（2022·湖南高三一模）从人中选出人参加某大学举办的数学、物理、化学、生物比赛，每人只能

参加其中一项，且每项比赛都有人参加，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数

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