9.3计数原理（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.3 计数原理

【题型解读】

【知识储备】

1．分类加法计数原理

做一件事，完成它有 n类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法

……在第 n类办法中有 mn种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝m1＋ m 2＋ … ＋ m n

种不同的方法．

2．分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一个步骤有 m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同的方

法……做第 n个步骤有 mn种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝m1× m 2×…× m n

种不同的方法．

3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别

分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；

分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．

4.两个计数原理的应用

用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：

一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分类还是需要分步．

(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．

(2)分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分类后再计算每一步的方法数，最后根

据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．

【题型精讲】

【题型一　分类加法计数原理】

必备技巧分类加法计数原理

(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．

(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同

的方法，不能重复．

(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．

例1　 (2022·济南模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1<a2，且 a2>a3，则称这样的三位数为凸数(如

120,343,275 等)，那么所有凸数的个数为(　　)

A．240 B．204 C．729 D．920

【答案】　A

【解析】若a2＝2，则百位数字只能选 1，个位数字可选 1或0，“凸数”为120 与121，共 2个．若 a2＝3，

则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若 a2＝4，满足条件的“凸数”

有3×4＝12(个)，…，若 a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．

所以所有凸数有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．

例2　(2022·青岛模拟)若椭圆＋＝1的焦点在 y轴上，且 m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆

的个数为________．

【答案】　20

【解析】当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共 6个；当 m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共 5个；

当m＝3时，n＝4,5,6,7，共 4个；当 m＝4时，n＝5,6,7，共 3个；当 m＝5时，n＝6,7，共 2个．

故共有 6＋5＋4＋3＋2＝20 个满足条件的椭圆．

【题型精练】

1. （2022·华师大二附中高三期中）从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组

成等差数列，这样的等差数列有（）个

A．98 B．56 C．84 D．49

【答案】A

【解析】当公差为时，数列可以是：，，，…… ，共 13 种情况.

当公差为时，数列可以是：，，，…… ，共 11 种情况.

当公差为时，数列可以是：，，，…… ，共 9 种情况.

当公差为时，数列可以是：，，，…… ，共 7 种情况.

当公差为时，数列可以是：，，，，，共 5 种情况.

当公差为时，数列可以是：，，，共 3 种情况.

当公差为时，数列可以是：，共 1 种情况.

总的情况是 .

又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，

所以这样的等差数列共有个.

故选：A

2．（2022·全国高三课时练习）满足 a，b∈{－1,0,1,2}，且关于 x的方程 ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序

数对(a，b)的个数为(　　)

A．14　　　　　　　　　　　 B．13

C．12 D．10

【答案】B　

【解析】选B　当 a＝0时，关于 x的方程为 2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足

要求；当 a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－

1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有 13 个．故选 B.

3．（2022·全国高三课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．

【答案】36

【解析】按十位数字分类，十位可为 1,2,3,4,5,6,7,8，共分成 8类，在每一类中满足条件的两位数分别有 8

个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36 个两位数．

【题型二　分步乘法计数原理】

必备技巧分步乘法计数原理

(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须

满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．

例3　(全国Ⅱ高考)如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓

参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24 B．18 C．12 D．9

【答案】　B

【解析】从E点到 F点的最短路径有 6条，从 F点到 G点的最短路径有 3条，所以从 E点到 G点的最短路

径有 6×3＝18(条)，故选 B.

例4　（2022·云南师大附中高三模拟）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出

于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方

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