9.2成对数据的统计分析（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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9.2 成对数据的统计分析

【题型解读】

【知识必备】

1．变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称

为相关关系．

(2)相关关系的分类：正相关和负相关．

(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这

两个变量线性相关．

2．样本相关系数

(1)r＝.

(2)当r>0 时，称成对样本数据正相关；当 r<0 时，称成对样本数据负相关．

(3)|r|≤1；当|r|越接近 1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近 0时，成对样本数据的线性相

关程度越弱．

3．一元线性回归模型

(1)我们将y＝bx＋a称为 Y关于 x的经验回归方程，

其中

(2)残差：观测值减去预测值，称为残差．

4．列联表与独立性检验

(1)关于分类变量 X和Y的抽样数据的 2×2列联表：

Y合计

Y＝0Y＝1

X＝0a b a＋b

X＝1c d c＋d

合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d

(2)计算随机变量 χ2＝，利用 χ2的取值推断分类变量 X和Y是否独立的方法称为 χ2独立性检验．

α0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

xα2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

【题型精讲】

【题型一成对数据的相关性】

必备技巧判定两个变量相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负

相关．

(2)样本相关系数：当

>0 时，正相关；当

<0 时，负相关；|

|越接近于 1，相关性越强．

(3)经验回归方程：当

>0 时，正相关；当

<0 时，负相关

例1 （2022·全国·高三专题练习）某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图．

下面关于相关系数的比较，正确的是（　　）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由图可知：所对应的图中的散点呈现正相关，而且对应的相关性比对应的相关性要强，

故，所对应的图中的散点呈现负相关，且根据散点的分布情况可知 ,因此

，

故选：C

例2 （2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）已知变量 x和y满足关系 y＝－0.1x＋1，变量 y

与z正相关．下列结论中正确的是(　　)

A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

【答案】C

【解析】因为 y＝－0.1x＋1的斜率小于 0，故 x与y负相关．因为 y与z正相关，可设 z＝by＋a，b＞0，

则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故 x与z负相关．

【跟踪精练】

1. （2022·青岛高三月考）对两个变量 x，y进行线性相关检验，得线性相关系数 r1＝0.8995，对两个变量

u，v进行线性相关检验，得线性相关系数 r2＝﹣0.9568，则下列判断正确的是（　　）

A．变量 x与y正相关，变量 u与v负相关，变量 x与y的线性相关性较强

B．变量 x与y负相关，变量 u与v正相关，变量 x与y的线性相关性较强

C．变量 x与y正相关，变量 u与v负相关，变量 u与v的线性相关性较强

D．变量 x与y负相关，变量 u与v正相关，变量 u与v的线性相关性较强

【答案】C

【解析】依题意：，

所以正相关，负相关，

，所以的线性相关性较强.

故选：C

2. （2022·济南高三期末）(多选)下列有关经验回归分析的说法中正确的有(　　)

A．经验回归直线必过点(，)

B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线

C．当样本相关系数 r>0 时，两个变量正相关

D．如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于 0

【答案】ACD

【解析】对于 A，经验回归直线必过点(，)，故 A正确；

对于 B，经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故 B不正确；

对于 C，当样本相关系数 r>0 时，则两个变量正相关，故 C正确；

对于 D，如果两个变量的相关性越弱，则|r|就越接近于 0，故 D正确．

【题型二相关系数求解】

例3 （2022·四川·成都七中高三阶段练习）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量

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