8.11圆锥曲线中证明、探究性模型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
8.11 圆锥曲线中证明、探究性模型
【题型解读】
【知识必备】
一、圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．二是证
明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过
定点等；解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性
质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想
的充分体现．无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间
的联系，从而确定解题思路及转化方向．
二、存在性问题的解题步骤
探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．一般步骤为：
(1)假设满足条件的元素(常数、点、直线或曲线)存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程
(组)或不等式(组)；
(2)解此方程(组)或不等式(组)；
(3)若方程(组)有实数解，则元素(常数、点、直线或曲线)存在，否则不存在．
三、解决存在性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
【题型精讲】
【题型一 证明数量关系问题】
例1 （2022·全国·高三专题练习）设椭圆 C：＋y2＝1的右焦点为 F，过 F的直线 l与C交于 A，B两点，点
M的坐标为(2，0)．
(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM 的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB
．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 E：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为 2，直线 l1：x＝4与x轴的交点为
G，过点 M(1，0)且不与 x轴重合的直线 l2交椭圆 E于点 A，B．当 l2垂直于 x轴时，△ABG 的面积为．
(1)求椭圆 E的方程；
(2)若AC⊥l1，垂足为 C，直线 BC 交x轴于点 D，证明：|MD|＝|DG|．
【题型二 证明位置关系问题】
例2 （2022·青岛高三模拟）已知点 A(－4，0)，直线 l：x＝－1与x轴交于点 B，动点 M到A，B两点的
距离之比为 2．
A
B
F
M
O
x
y
C
l1
A
l2
M
B
D
O
x
y
G
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