8.10圆锥曲线中最值、范围模型（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.10 圆锥曲线中最值、范围模型

【题型解读】

【题型一斜率型最值、范围问题】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为和 ,且,

, , 四点中恰有三点在椭圆 C上.

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）点 P是椭圆 C上位于 x轴上方的动点,直线和与直线分别交于 G和H两点,设直线和

的斜率分别为和 ,若线段 GH 的长度小于 ,求的最大值.

【解析】（1）由于 ,两点关于 y轴对称,故由题设知 C经过 ,两点.

又由 ,知C不经过 ,所以点在 C上.

所以解得

所以椭圆 C的标准方程为；

（2）设 ,如图,过点 P作直线轴,

分别交 x轴和直线于 M,N两点.

易知 ,则,即,

由,得,所以 ,

由,得,从而

所以当时, ,即的最大值为 .

2. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P在椭圆 C上，

以PF1为直径的圆 E：x2＋2＝过焦点 F2.

(1)求椭圆 C的方程；

(2)若椭圆 C的右顶点为 A，与 x轴不垂直的直线 l交椭圆 C于M，N两点(M，N与A点不重合)，且满足

AM⊥AN，点 Q为MN 的中点，求直线 MN 与AQ 的斜率之积的取值范围．

【解析】(1)在圆 E的方程中，令 y＝0，得 x2＝3，

解得 x＝±，

所以 F1，F2的坐标分别为(－，0)，(，0)．

因为 E，

又因为|OE|＝|F2P|，OE∥F2P，

所以点 P的坐标为，

所以 2a＝|PF1|＋|PF2|＝2×＋＝4，

得a＝2，b＝1，

即椭圆 C的方程为＋y2＝1.

(2)右顶点为 A(2,0)，由题意可知直线 AM 的斜率存在且不为 0，

设直线 AM 的方程为 y＝k(x－2)，

由MN 与x轴不垂直，故 k≠±1.

由

得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又点 A(2,0)，

则由根与系数的关系可得 2x1＝，

得x1＝，y1＝k(x1－2)＝，

因为 AM⊥AN，

所以直线 AN 的方程为 y＝－(x－2)，

用－替换 k可得，x2＝，y2＝，

所以点 Q坐标为

，

所以直线 AQ 的斜率

k1＝＝，

直线 MN 的斜率

k2＝＝＝，

所以 k1k2＝＝，

因为 k2>0 且k2≠1，

所以 2k2＋＋1>2＋1＝5，

所以 0<<，

即k1k2∈.

所以直线 MN 与AQ 的斜率之积的取值范围是.

【题型二距离型最值、范围问题】

例2 （2022·青岛高三模拟）已知椭圆经过点 ,离心率为 .

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆相交于两点,求的最大值.

【解析】（1）由已知得解得 ,

因此椭圆 C的方程为；

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