8.10圆锥曲线中最值、范围模型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.10 圆锥曲线中最值、范围模型
【题型解读】
【知识必备】
1．圆锥曲线中范围问题求解的基本思路
解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：
建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值
域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；
建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．
2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
【题型精讲】
【题型一 斜率型最值、范围问题】
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|＝6，直线
y＝kx 与椭圆交于 A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且 A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率 e的值；
(3)在(2)的条件下，设 P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1∈(－2，－1)，试求直线 PB 的斜率 k2的
取值范围．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ,过点 作椭圆的两条切线,且两切线垂直.
(1)求 ；
(2)已知点 ,若存在过点 的直线与椭圆交于 ,且以 为直径的圆过点 （
不与 重合）,求直线 斜率的取值范围.
【题型二 距离型最值、范围问题】
例2 （2022·青岛高三模拟）已知椭圆 C： 的离心率为 , , 分别为椭圆 C的左、
右焦点,过 且与 x轴垂直的直线与椭圆 C交于点 A,B,且 的面积为 ．
（1）求椭圆 C的标准方程；
（2）设直线 l与椭圆 C交于不同于右顶点 P的M,N两点,且,求 的最大值．
y
O
x
P
A
F1F2
B
【跟踪精练】
1.已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且椭圆 C过点．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)过椭圆 C的右焦点的直线 l与椭圆 C分别相交于 A，B两点，且与圆 O：x2＋y2＝2相交于 E，F两点，求
|AB|·|EF|2的取值范围．
【题型三 面积型最值、范围问题】
例3 （2022·全国高三专题练习）已知椭圆 四个顶点的四边形为菱形,它的边长为
,面积为 ,过椭圆左焦点 与椭圆 C相交于 M,N两点（M,N两点不在 x轴上）,直线 l的方程为：
,过点 M作 垂直于直线 l交于点 E．
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)点O为坐标原点,求 面积的最大值．
E
O
x
y
A
B
F
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