8.10圆锥曲线中最值、范围模型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.10 圆锥曲线中最值、范围模型

【题型解读】

【知识必备】

1．圆锥曲线中范围问题求解的基本思路

解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：

建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值

域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；

建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．

2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．

【题型精讲】

【题型一斜率型最值、范围问题】

例1 （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，且|F1F2|＝6，直线

y＝kx 与椭圆交于 A，B两点．

(1)若△AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程；

(2)若k＝，且 A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率 e的值；

(3)在(2)的条件下，设 P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线 PA 的斜率 k1∈(－2，－1)，试求直线 PB 的斜率 k2的

取值范围．

【解析】(1)由题意得 c＝3，根据 2a＋2c＝16，得 a＝5．

结合 a2＝b2＋c2，解得 a2＝25，b2＝16。所以椭圆的方程为＋＝1．

(2)法一：由得 x2－a2b2＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以 x1＋x2＝0，x1x2＝，由 AB，F1F2互相平分且共圆，

易知，AF2⊥BF2，因为F2A＝(x1－3，y1)，F2B＝(x2－3，y2)，

所以F2A·F2B＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0．

即x1x2＝－8，所以有＝－8，结合 b2＋9＝a2，解得 a2＝12(a2＝6舍去)，

所以离心率 e＝．(若设 A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相应给分)

法二：设 A(x1，y1)，又 AB，F1F2互相平分且共圆，

所以 AB，F1F2是圆的直径，所以 x＋y＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：

由前两个方程解得 x＝8，y＝1，将其代入第三个方程并结合 b2＝a2－c2＝a2－9，

解得 a2＝12，故 e＝．

(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，由题可设 A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，

k1＝，k2＝，所以 k1k2＝，又＝＝－，

即k2＝－，由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜．即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是．

【跟踪精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 ,过点作椭圆的两条切线,且两切线垂直.

(1)求；

(2)已知点 ,若存在过点的直线与椭圆交于 ,且以为直径的圆过点（

不与重合）,求直线斜率的取值范围.

【解析】（1）由题可知,切线斜率存在,则设切线 ,

联立得 ,即,

相切得： ,即,所以

F1F2

由两切线垂直得：

（2）由（1）得,椭圆方程为

由题可知,直线的斜率存在,设,联立得

设,由韦达定理得：

由题意为直径的圆过点 ,①

又

代入①式得：

或（舍去）,所以过定点 ,

,随的增大而增大,

即直线斜率范围

【题型二距离型最值、范围问题】

例2 （2022·青岛高三模拟）已知椭圆 C：的离心率为 , , 分别为椭圆 C的左、

右焦点,过且与 x轴垂直的直线与椭圆 C交于点 A,B,且的面积为．

（1）求椭圆 C的标准方程；

（2）设直线 l与椭圆 C交于不同于右顶点 P的M,N两点,且,求的最大值．

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