8.9圆锥曲线中定值模型（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.9 圆锥曲线中定值模型

【题型解读】

【题型一斜率为定值】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过

且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和 .

(1)求的方程；

(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜

率为，证明：为定值.

【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，

则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又

，解得，所以的方程为 .

（2）设，则 .①

设过点与椭圆相切的直线方程为，

联立得，

则，

整理得 .②

由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得 .

又因为，所以，所以为定值．

2. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线

x2＝8y的焦点．

(1)求椭圆 C的方程；

(2)如图，已知 P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点．

①若直线 AB 的斜率为，求四边形 APBQ 面积的最大值；

②当 A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由．

【解析】(1)设椭圆 C的方程为＋＝1(a>b>0)，∵抛物线的焦点为(0，2)．∴b＝2．

由＝，a2＝c2＋b2，得 a＝4，∴椭圆 C的方程为＋＝1．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①设直线 AB 的方程为 y＝x＋t，代入＋＝1，得 x2＋tx＋t2－12＝0，

由Δ>0，解得－4<t<4，∴x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，

∴|x1－x2|＝＝＝．

∴四边形 APBQ 的面积 S＝×6×|x1－x2|＝3．∴当t＝0时，S取得最大值，且 Smax＝12．

②若∠APQ＝∠BPQ，则直线 PA，PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为－k，

直线 PA 的方程为 y－3＝k(x－2)，由消去 y，

得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0，∴x1＋2＝，

将k换成－k可得 x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，

∴kAB＝＝＝＝，∴直线 AB 的斜率为定值．

3.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为 A，上顶点为 B，O为坐标原点，点 O到直线 AB 的距离为，△OAB 的

面积为 1．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线 l与椭圆交于 C，D两点，若直线 l∥直线 AB，设直线 AC，BD 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1·k2为

定值．

【解析】(1)直线 AB 的方程为＋＝1，即 bx＋ay－ab＝0，则＝，

因为△OAB 的面积为 1，所以 ab＝1，即 ab＝2．解得 a＝2，b＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1．

(2)直线 AB 的斜率为－，设直线 l的方程为 y＝－x＋t，C(x1，y1)，D(x2，y2)，

代入＋y2＝1，得 2y2－2ty＋t2－1＝0，依题意得，Δ>0，

则y1＋y2＝t，y1y2＝，

所以 k1k2＝·＝，

因为 x1x2－2x2＝4(t－y1)(t－y2)－4(t－y2)＝4[t2－t(y1＋y2)＋y1y2－t＋y2]

＝4[(y1＋y2)2－(y1＋y2)(y1＋y2)＋y1y2－(y1＋y2)＋y2]＝4(y1y2－y1)，

所以 k1k2＝为定值．

【题型二距离为定值】

1.（2022·青岛高三模拟）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆 C相交于 A，B两

点，取 A点关于 x轴的对称点 S，设线段与线段的中垂线交于点 Q．

(1)当时，求；

(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．

【解析】（1）设，线段的中点 M坐标为，联立得消去 y可

得：，所以

所以，代入直线方程，求得，

因为 Q为三条中垂线的交点，所以，

有，直线方程为 .

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