8.9圆锥曲线中定值模型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.9 圆锥曲线中定值模型

【题型解读】

【知识必备】

定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能

是动点的坐标等，这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的

量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把

双参数问题化为单参数问题解决．

【题型精讲】

【题型一斜率为定值】

例1 （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为 F，右顶点为 E，P为

直线 x＝a上的任意一点，且(PF＋PE)·EF＝2．

(1)求椭圆 C的方程；

(2)过F且垂直于 x轴的直线 AB 与椭圆交于 A，B两点(点A在第一象限)，动直线 l与椭圆 C交于 M，N两

点，且 M，N位于直线 AB 的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线 MN 的斜率为定值．

【解析】　(1)设P，F(c

，

0)，E(a

，

0)，

则PF＝，PE＝，EF＝(c－a

，

0)，

所以(PF＋PE)·EF＝·＝2，即·(c－a)＝2，又 e＝＝，

所以 a＝2，c＝1，b＝，从而椭圆 C的方程为＋＝1．

(2)由(1)知A，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，设 MN 的方程：y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，

得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，所以 x1＋x2＝－，x1x2＝．

又M，N是椭圆上位于直线 AB 两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB，

则kAM＋kAN＝0，即＋＝0，(x2－1)＋(x1－1)＝0，

即(2k－1)(2m＋2k－3)＝0，得 k＝．故直线 MN 的斜率为定值．

【跟踪精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线

x2＝8y的焦点．

(1)求椭圆 C的方程；

(2)如图，已知 P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点．

①若直线 AB 的斜率为，求四边形 APBQ 面积的最大值；

②当 A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线 AB 的斜率是否为定值？请说明理由．

【解析】(1)设椭圆 C的方程为＋＝1(a>b>0)，∵抛物线的焦点为(0，2)．∴b＝2．

由＝，a2＝c2＋b2，得 a＝4，∴椭圆 C的方程为＋＝1．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①设直线 AB 的方程为 y＝x＋t，代入＋＝1，得 x2＋tx＋t2－12＝0，

由Δ>0，解得－4<t<4，∴x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，

∴|x1－x2|＝＝＝．

∴四边形 APBQ 的面积 S＝×6×|x1－x2|＝3．∴当t＝0时，S取得最大值，且 Smax＝12．

②若∠APQ＝∠BPQ，则直线 PA，PB 的斜率之和为 0，设直线 PA 的斜率为 k，则直线 PB 的斜率为－k，

直线 PA 的方程为 y－3＝k(x－2)，由消去 y，

得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0，∴x1＋2＝，

将k换成－k可得 x2＋2＝＝，∴x1＋x2＝，x1－x2＝，

∴kAB＝＝＝＝，∴直线 AB 的斜率为定值．

【题型二距离为定值】

例2 （2022·青岛高三模拟）已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点 A(2，1)．

(1)求C的方程；

(2)点M，N在C上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值．

【解析】(1)由题意可得解得 a2＝6，b2＝c2＝3，故椭圆 C的方程为＋＝1．

(2)设点 M(x1，y1)，N(x2，y2)．因为 AM⊥AN，所以AM·AN＝0，

即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0．①

当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为 y＝kx＋m，如图 1．

代入椭圆方程消去 y并整理，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0，

x1＋x2＝－，x1x2＝，②

根据 y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，代入①整理，可得

(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0，

将②代入上式，得(k2＋1)＋(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，

整理化简得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0，

因为 A(2，1)不在直线 MN 上，所以 2k＋m－1≠0，所以 2k＋3m＋1＝0，k≠1，

于是直线 MN 的方程为 y＝k－，所以直线 MN 过定点 E．

当直线 MN 的斜率不存在时，可得 N(x1，－y1)，如图 2．

代入(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，得(x1－2)2＋1－y＝0，

结合＋＝1，解得 x1＝2(舍去)或x1＝，此时直线 MN 过点 E．

因为|AE|为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，

所以 AE 的中点 Q满足|DQ|为定值．

由于 A(2，1)，E，故由中点坐标公式可得 Q．

故存在点 Q，使得|DQ|为定值．

【跟踪精练】

1.如图，已知椭圆 C：＋＝1，点 B是其下顶点，过点 B的直线交椭圆 C于另一点 A(A点在 x轴下方)，且线

段AB 的中点 E在直线 y＝x上．

(1)求直线 AB 的方程；

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