8.8圆锥曲线中定点模型（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.8 圆锥曲线中定点模型

【题型解读】

【题型一直线过定点模型】

1.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的焦距为 2，且过点.

(1)求椭圆方程；

(2)设直线 l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆 C于A，B两点，且线段 AB 的中点 M在直线 x＝上，求证：线段 AB 的

中垂线恒过定点 N.

【解析】(1)椭圆过点，即＋＝1，

又2c＝2，得 a2＝b2＋3，

所以 a2＝4，b2＝1，即椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由

得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

Δ＝16(4k2－m2＋1)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，

设AB 的中点 M为(x0，y0)，

得x0＝－＝，

即1＋4k2＝－8km，

所以 y0＝kx0＋m＝k－＝－.

所以 AB 的中垂线方程为 y＋＝－，

即y＝－，

故AB 的中垂线恒过点 N.

2.（2022·福建高三期末）已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，A1，A2分别是椭圆 C的左、右两个顶点，

点F是椭圆 C的右焦点．点 D是x轴上位于 A2右侧的一点，且满足＋＝＝2．

(1)求椭圆 C的方程以及点 D的坐标；

(2)过点 D作x轴的垂线 n，再作直线 l：y＝kx＋m，与椭圆 C有且仅有一个公共点 P，直线 l交直线 n于点

Q．求证：以线段 PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

【解析】(1) A1(－a，0)，A2(a，0)，F(c，0)，设 D(x，0)，

由＋＝2，有＋＝2，又|FD|＝1，∴x－c＝1，x＝c＋1，

于是＋＝2，∵e＝．∴a＝c，代入 c＋1＝(c＋1＋a)( c＋1－a)，解得 c＝1，

a2＝2，b2＝1，椭圆 C：＋y2＝1，且 D(2，0)．

(2)∵Q(2，2k＋m)，设 P(x0，y0)，联立由消去 y得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，

由Δ＝0，得 m2＝2k2＋1，∴2x0＝，即 x0＝，∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝，即 P(－，)，

设以 PQ 为直径的圆上任一点 M(x，y)，由MP·MQ＝0，

得(x＋)(x－2)＋(y－)(y－(2k＋m))＝0，

整理得 x2＋y2＋(－2)x＋(2k＋m＋)y＋(1－)＝0，

由对称性知定点在 x轴上，令 y＝0，取 x ＝1时满足上式，故定点为(1，0)．

3. （2022·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左右焦点，､是上一点，

与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为 .

(1)求椭圆的离心率；

(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线

过定点，并求出定点坐标.

【解析】（1）由题意知，点在第一象限，是上一点且与轴垂直，

的横坐标为 .当时，，即 .

又直线的斜率为，所以，

即，即

则，解得或（舍去），

A1A2D

即.

（2）已知是椭圆的上顶点，则，

由（1）知，解得，

所以，椭圆的方程为，

设直线的方程为，

联立可得，

所以，

又，

，

化简整理有，得或 .

当时，直线经过点，不满足题意；.

当时满足方程中，

故直线经过轴上定点 .

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