8.8圆锥曲线中定点模型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 24 4 233.98KB 7 页 3知币
侵权投诉
8.8 圆锥曲线中定点模型
【题型解读】
【知识必备】
定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，
这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲
线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出 x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过
的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．
【题型精讲】
【题型一 直线过定点模型】
方法技巧 求解直线或曲线过定点问题的基本思路
(1)把直线或曲线方程中的变量 x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就
要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y的方程组，这个方程组
的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若
得到了直线方程的斜截式 y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
例1 （2022·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆 M：＋＝1(a>b>0)的左顶点为 A，中心为 O，若椭圆
M过点 P，且 AP⊥OP．
(1)求椭圆 M的方程；
(2)若△APQ 的顶点 Q也在椭圆 M上，试求△APQ 面积的最大值；
(3)过点 A作两条斜率分别为 k1，k2的直线交椭圆 M于D，E两点，且 k1k2＝1，求证：直线 DE 过定点．
例2 （2022·福建高三期末）已知椭圆 C1：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为 2，离心率为 e1，双曲线 C2：－＝
1(p>0，q>0)的渐近线为 y＝±x，离心率为 e2，且 e1·e2＝1.
(1)求椭圆 C1的方程；
(2)设椭圆 C1的右焦点为 F，动直线 l(l不垂直于坐标轴)交椭圆 C1于M，N不同的两点，设直线 FM 和FN
的斜率为 k1，k2，若 k1＝－k2，试探究该动直线 l是否过 x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说
明理由．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知动点 M(x，y)(y≥0)到定点 F(0,1)的距离比到 x
轴的距离大 1.
(1)求动点 M的轨迹 C的方程；
(2)过点 N(4,4)作斜率为 k1，k2的直线分别交曲线 C于不同于 N的A，B两点，且＋＝1.证明：直线 AB 恒过
定点．
2. (2022·深圳模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C上．
(1)求C的方程；
(2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点．若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为－1，证明：l过定
点．
【题型二 圆过定点模型】
方法技巧 圆过定点问题的一般解法
(1)向量法：基本思想是根据直径所对的圆周角是直角，即MP·MQ＝0．这是解决圆过定点的主要方法．
一般步骤：①设出 M(m，n)及相关点的坐标或相关直线的方程；
②根据题设条件求出点 P与点 Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；
③求出MP与MQ的坐标，并根据MP·MQ＝0，建立方程 f(m，n，t)＝0，并整理成 tf(m，n)＋g(m，n)＝0；
④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数 t的任意值都成立)，得到方程组
⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点．
例3 （2022·青岛高三模拟）已知 F1，F2为椭圆 C：＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点 M(m，0)
(不含端点)作一条直线 l，交椭圆于 A，B两点．
(1)若直线 AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为 0)，求实数 m的取值范围；
(2)若过点 P的直线交椭圆 C于E，F两点，则以 EF 为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；
若不是，请说明理由．
例4（2022·山东日照高三模拟）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1，F2，上、下顶点分别是
B1，B2，C是B1F2的中点，若B1F1·B1F2＝2且CF1⊥B1F2．
(1)求椭圆的方程；
(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线 QA1，QA2与直线 x＝分别交于 E，F两
点，试证：以 EF 为直径的圆与 x轴交于定点，并求该定点的坐标．
A
O
x
F1
B
y
(1)图
F2
M
l
P
Ox
F
E
y
(2)图
yQ
O
x
E
A1A2
x＝
4 3
3
F
8.8圆锥曲线中定点模型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）.docx

共7页,预览3页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：cande 分类：高中 价格：3知币 属性：7 页 大小：233.98KB 格式：DOCX 时间：2025-05-10

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 7
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注