8.8圆锥曲线中定点模型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.8 圆锥曲线中定点模型

【题型解读】

【知识必备】

定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，

这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲

线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出 x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过

的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．

【题型精讲】

【题型一直线过定点模型】

方法技巧求解直线或曲线过定点问题的基本思路

(1)把直线或曲线方程中的变量 x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就

要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y的方程组，这个方程组

的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．

(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式 y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若

得到了直线方程的斜截式 y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．

例1 （2022·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆 M：＋＝1(a>b>0)的左顶点为 A，中心为 O，若椭圆

M过点 P，且 AP⊥OP．

(1)求椭圆 M的方程；

(2)若△APQ 的顶点 Q也在椭圆 M上，试求△APQ 面积的最大值；

(3)过点 A作两条斜率分别为 k1，k2的直线交椭圆 M于D，E两点，且 k1k2＝1，求证：直线 DE 过定点．

【解析】(1)由AP⊥OP，可知 kAP·kOP＝－1．又点 A的坐标为(－a，0)，

所以·＝－1，解得 a＝1．又因为椭圆 M过点 P，所以＋＝1，解得 b2＝，

所以椭圆 M的方程为 x2＋＝1．

(2)由题意易求直线 AP 的方程为＝，即 x－y＋1＝0．

因为点 Q在椭圆 M上，故可设 Q，又|AP|＝，

所以 S△APQ＝××＝× cos＋1．

当θ＋＝2kπ(k∈Z)，即 θ＝2kπ－(k∈Z)时，S△APQ取得最大值＋．

(3)由题意易得，直线 AD 的方程为 y＝k1(x＋1)，代入 x2＋3y2＝1，消去 y，

得(3k＋1)x2＋6kx＋3k－1＝0．设 D(xD，yD)，则(－1)·xD＝，

即xD＝，yD＝k1＝．

设E(xE，yE)，同理可得 xE＝，yE＝．又 k1k2＝1且k1≠k2，可得 k2＝且 k1≠±1，

所以 xE＝，yE＝，所以 kDE＝＝＝，

故直线 DE 的方程为 y－＝．

令y＝0，可得 x＝－＝－2．故直线 DE 过定点(－2，0)．

例2 （2022·福建高三期末）已知椭圆 C1：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为 2，离心率为 e1，双曲线 C2：－＝

1(p>0，q>0)的渐近线为 y＝±x，离心率为 e2，且 e1·e2＝1.

(1)求椭圆 C1的方程；

(2)设椭圆 C1的右焦点为 F，动直线 l(l不垂直于坐标轴)交椭圆 C1于M，N不同的两点，设直线 FM 和FN

的斜率为 k1，k2，若 k1＝－k2，试探究该动直线 l是否过 x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说

明理由．

【解析】(1)由题意知，

椭圆 C1：＋＝1(a>b>0)，

其短轴长为 2，可得 b＝，椭圆的离心率为 e1，

双曲线 C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为 y＝±x，

即＝，即＝3，

所以离心率为 e2＝＝＝2，

且e1·e2＝1.

所以 e1＝＝＝＝，

解得 a＝2，

所以椭圆 C1的方程为＋＝1.

(2)假设该直线过定点(t,0)，

设直线 l的方程为 y＝k(x－t)(k≠0)，

联立

消去 y，整理得

(3＋4k2)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

Δ>0⇒48(k2t2－3－4k2)<0，

k1＋k2＝＋

＝＋

＝k·

＝k·＝0，

所以 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，

即2·－(t＋1)·＋2t

＝＝0，

所以－24＋6t＝0，

解得 t＝4，即直线过定点(4,0)．

【跟踪精练】

1. （2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知动点 M(x，y)(y≥0)到定点 F(0,1)的距离比到 x

轴的距离大 1.

(1)求动点 M的轨迹 C的方程；

(2)过点 N(4,4)作斜率为 k1，k2的直线分别交曲线 C于不同于 N的A，B两点，且＋＝1.证明：直线 AB 恒过

定点．

【解析】(1)由题意可知＝y＋1，化简可得曲线 C：x2＝4y.

(2)由题意可知，N(4,4)是曲线 C：x2＝4y上的点，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则lNA：y＝k1(x－4)＋4，lNB：y＝k2(x－4)＋4，

联立直线 NA 的方程与抛物线 C的方程，

⇒x2－4k1x＋16(k1－1)＝0，

解得 x1＝4(k1－1)，①

同理可得 x2＝4(k2－1)，②

而lAB：y－＝(x－x1)，③

又＋＝1，④

由①②③④整理可得 lAB：y＝(k1＋k2－2)x－4，

故直线 AB 恒过定点(0，－4)．

2. (2022·深圳模拟)已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)，四点 P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆 C上．

(1)求C的方程；

(2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A，B两点．若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为－1，证明：l过定

点．

【解析】(1)由于 P3，P4两点关于 y轴对称，故由题设知椭圆 C经过 P3，P4两点．

又由＋>＋知，椭圆 C不经过点 P1，所以点 P2在椭圆 C上．

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