8.7抛物线方程及其性质（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 27 4 318.82KB 7 页 3知币
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8.7 抛物线方程及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线
的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
焦点
准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝
对称轴 x
轴 y
轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦 AB 的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切；
(5)以AF 或BF 为直径的圆与 y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于 2p.
【题型精讲】
【题型一 抛物线的定义及应用】
方法技巧 处理抛物线定义的技巧
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由
数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为 ，
则 （ ）
A．4 B．3 C．D．
例2 （2022·福建高三期末））已知点 为抛物线 上的动点，设点 到 的距离为 ，到直线
的距离为 ，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3 （2022·全国·高三专题练习）已知动圆 M与直线 y=2 相切，且与定圆 外切，则动圆
圆心 M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点，
，则 （ ）
A．B．C．D．
2. (2022·深圳模拟)是抛物线 上的动点， 到 轴的距离为 ，到圆 上动点
的距离为 ，则 的最小值为________．
3.（2022·全国高三模拟）动点 到 y轴的距离比它到定点 的距离小 2，求动点 的轨迹
方程．
【题型二 抛物线的方程】
例4 （2022·青岛高三模拟）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在 上，且 ，若
点 的坐标为 ，且 ，则 的方程为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
例5（2022·山东日照高三模拟）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴正半轴上，过其焦点 作直线
交抛物线于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点 ， ， ，且
，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪精练】
1．（2022·武功县普集高级中学期末）已知直线 ： 与抛物线 相交于 、 两
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