8.7抛物线方程及其性质（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 18 4 899.6KB 17 页 3知币
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8.7 抛物线方程及其性质
【题型解读】
【知识必备】
1．抛物线的概念
把平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l不经过点 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F叫做抛物线
的焦点，直线 l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R
焦点
准线方程 x＝－ x＝y＝－ y＝
对称轴 x
轴 y
轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB 是过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦 AB 的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦 AB 为直径的圆与准线相切；
(5)以AF 或BF 为直径的圆与 y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；
(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于 2p.
【题型精讲】
【题型一 抛物线的定义及应用】
方法技巧 处理抛物线定义的技巧
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由
数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为 ，
则 （ ）
A．4 B．3 C．D．
【答案】D
【解析】由题意，抛物线 的准线方程为 ，
根据抛物线的定义，可得点 到焦点 的距离等于到准线 的距离，
可得 ，解得 故选：D.
例2 （2022·福建高三期末））已知点 为抛物线 上的动点，设点 到 的距离为 ，到直线
的距离为 ，则 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线 为抛物线 的准线，点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，过焦点 作
直线 的垂线，
如下图所示，此时 最小，为点 到直线 的距离.
，则 ．
故选：B．
例3 （2022·全国·高三专题练习）已知动圆 M与直线 y=2 相切，且与定圆 外切，则动圆
圆心 M的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r，由题意可得 M到C(0，－3)的距离与到直线 y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以 C(0，-3)为焦点，以 y＝3为准线的一条抛物线，
所以 ，其方程为
，
故选：A
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）已知点 是拋物线 的焦点， 是 上的一点，
，则 （ ）
A．B．C．D．
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