8.5直线和椭圆的位置关系（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 14 4 383.51KB 6 页 3知币
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8.5 直线和椭圆的位置关系
【题型解读】
【知识必备】
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去 y(或x)，得到关于 x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且 k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2) 过左焦点的弦 AB ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦
CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于 A1，A2的任一点，则 .
(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB 的中点，则 kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于 A，B两点，P是椭圆上异于 A，B的任一点，则 kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点 P的切线方程为＋＝1.
【题型精讲】
【题型一 直线和椭圆位置关系】
必备技巧 判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
例1 （2022·全国·高三专题练习）(多选)直线 y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．有 3个公共点
例2 （2022·福建高三期末）已知动点 M到两定点 F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为 4(0<m<2)，且动点
M的轨迹曲线 C过点 N.
(1)求m的值；
(2)若直线 l：y＝kx＋与曲线 C有两个不同的交点 A，B，求 k的取值范围．
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆
的交点个数为（ ）
A．1 个 B．至多一个 C．2 个 D．0 个
2. (2022·深圳模拟)若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
3.（2022·全国高三模拟）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为（
）
A． B． 或
C． 且 D． 且
【题型二 弦长问题】
例3 （2022·青岛高三模拟）在平面直角坐标系 Oxy 中，已知椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)过点 P(2,1)，且离
心率 e＝.
(1)求椭圆 C的方程；
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