8.5直线和椭圆的位置关系（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 12 4 731.95KB 15 页 3知币
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8.5 直线和椭圆的位置关系
【题型解读】
【知识必备】
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去 y(或x)，得到关于 x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；
直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.
2．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝|x1－x2|＝
或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线斜率且 k≠0.
常用结论
已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为.
(2) 过左焦点的弦 AB ，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦
CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)
(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于 A1，A2的任一点，则 .
(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB 的中点，则 kOM·kAB＝－.
(5)过原点的直线交椭圆于 A，B两点，P是椭圆上异于 A，B的任一点，则 kPA·kPB＝－.
(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点 P的切线方程为＋＝1.
【题型精讲】
【题型一 直线和椭圆位置关系】
必备技巧 判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
例1 （2022·全国·高三专题练习）(多选)直线 y＝kx－k＋与椭圆＋＝1的位置关系可能为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．有 3个公共点
【答案】AB
【解析】直线 y＝kx－k＋＝k(x－)＋恒过定点，又点在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．
例2 （2022·福建高三期末）已知动点 M到两定点 F1(－m，0)，F2(m，0)的距离之和为 4(0<m<2)，且动点
M的轨迹曲线 C过点 N.
(1)求m的值；
(2)若直线 l：y＝kx＋与曲线 C有两个不同的交点 A，B，求 k的取值范围．
【解析】(1)由0<m<2，得 2m<4，可知曲线 C是以两定点 F1(－m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为 2的
椭圆，
所以 a＝2，设曲线 C的方程为＋＝1，
把点 N代入，
得＋＝1，
解得 b2＝1，由 c2＝a2－b2，
解得 c2＝3，
所以 m＝.
(2)由(1)知曲线 C的方程为＋y2＝1，
联立方程得
消去 y得x2＋2kx＋1＝0，
则有 Δ＝4k2－1>0，得 k2>.
所以 k>或k<－，
所以 k的取值范围为∪.
【跟踪精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆
的交点个数为（ ）
A．1 个 B．至多一个 C．2 个 D．0 个
【答案】C
【解析】因为直线 和圆 没有交点，
所以 ，即 ，
所以 ，即点 在椭圆 内，
所以过点 的直线与椭圆 的交点个数为 个.
故选：C
2. (2022·深圳模拟)若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图示： 表示起点为 的两条斜率分别为 1 和-1 的射线.
当曲线 为椭圆时，即 ，只需点 落在椭圆内，即 ，解得： ；
当曲线 为双曲线时，即 ，渐近线方程：
要使曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，
只需 ，解得： .
所以实数 的取值范围是
故选：C
3.（2022·全国高三模拟）已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为（
）
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