8.4椭圆及其性质（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.4 椭圆及其性质
【题型解读】
【题型一 椭圆的定义及应用】
1.（2022·全国·高三阶段练习）“ ”是“曲线 ： （ ）是焦点在 轴上的椭圆”
的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
【答案】C
【解析】因为 （ ）是焦点在 轴上的椭圆，
所以 ,解得： ，
由 可得 成立，反之 不能推出 成立.
所以 ”是“曲线 ： （ ）是焦点在 轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选：C．
2.（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）椭圆 与 关系为（ ）
A．有相等的长轴长 B．有相等的离心率
C．有相同的焦点 D．有相等的焦距
【答案】D
【解析】由题意，对于椭圆 ，焦点在
x
轴上，
a
＝5，
b
＝3，所以
c
＝ ＝4，则离心率
e
＝ ＝ ，
对于椭圆 ，因为 25－
k
＞9－
k
＞0，所以焦点在
y
轴上，
a
＝ ≠5，
b
＝ ≠3，
所以
c
＝ ＝4，则离心率
e
＝ ＝ ≠ ，
故选项 D 正确，其他选项错误.
故选：D.
3.△ABC 的两个顶点为 A(－3,0)，B(3,0)，△ABC 周长为 16，则顶点 C的轨迹方程为(　　)
A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)
C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)
【答案】A
【解析】由题知点 C到A，B两点的距离之和为 10，故 C的轨迹为以 A(－3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为 10
的椭圆，故 2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.所以方程为＋＝1.
又A，B，C三点不能共线，
所以＋＝1(y≠0)．
4.(2022·武汉调研)设椭圆＋＝1的一个焦点为 F，则对于椭圆上两动点 A，B，△ABF 周长的最大值为(　　)
A．4＋ B．6
C．2＋2 D．8
【答案】D
【解析】设F1为椭圆的另外一个焦点，
则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|BF1|－|AF1|＝8＋|AB|－|BF1|
－|AF1|，
当A，B，F1三点共线时，
|AB|－|BF1|－|AF1|＝0，
当A，B，F1三点不共线时，
|AB|－|BF1|－|AF1|<0，
所以当 A，B，F1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值 8.
5. （2022·全国·高三专题练习）已知
F1
为椭圆
5x2+9y2=45
的左焦点，P 为椭圆上半部分上任意一点，
A(1,1)为椭圆内一点，则
|PF1|+|PA|
的最小值______________
【 解 析 】 由 椭 圆
5x2+9y2=45
的 方 程 化 为 ， 可 得 ， ∴
．如图所示．
∵ ， ∴ ．
当且仅当三点 共线时取等号．∴ 的最小值为
6−
√
2
．
6.（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知 为椭圆 上的一点，若 ， 分别是圆
和 上的点，则 的最大值为________．
【答案】
【解析】由题, 设圆 和圆 的圆心分别为 ,半径分别为 .
则椭圆 的焦点为 .又, .
故,当且仅当 分别在 的延长线上时取等号.
此时最大值为 .
故答案为： .
【题型二 焦点三角形问题】
1.（多选）（2021·河北唐山·高三开学考试）已知椭圆 ： 的左 右焦点分别为､， ，点
在 上，若 是直角三角形，则 的面积可能为（ ）
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