8.4.1抛物线（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第八章 平面解析几何
8.4.1 抛物线（题型战法）
知识梳理
一 定义及标准方程
定义：平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
方程：
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形与方程
标准方程
焦点
准线
二 简单几何性质
抛物线：
(1) 焦半径：
，
；焦点弦：
(2) 若直线 的倾斜角为 ，则 ，
(3) 以 为直径的圆与准线相切，以 为直径的圆与 y轴相切
(4)
(5)
(6) 中点弦： （中点坐标和斜率的关系）
题型战法
题型战法一 抛物线的定义及辨析
典例 1．若动点 P到定点 的距离与到直线 的距离相等，则点 P的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线
【答案】A
【分析】由抛物线定义可直接得到结果.
【详解】动点 满足抛物线定义，则其轨迹为抛物线.
故选：A.
变式 1-1．若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ，则点 的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【解析】题设条件等价于点 到直线 的距离等于它到点 的距离,满足抛物线定义.
【详解】因为点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ,
所以点 到直线 的距离等于它到点 的距离,
∴点 的轨迹为抛物线,
故选:C.
【点睛】本题考查抛物线的基本定义,考查轨迹思想,属于简单题.
变式 1-2．在平面直角坐标系 中，设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，
过点 作 ，交准线 于点 ，若直线 的倾斜角为 ，则点 的纵坐标为（ ）
A． 3 B． 2 C． 1 D．
【答案】A
【分析】求出 的长，根据抛物线的定义可得．
【详解】设准线与 轴交于 点，则 ， ，∴ ，
连接 ，则 ，又 ，所以 是正三角形，
∴ ，准线 的方程是 ，
∴ 点纵坐标为 3.
故选：A
变式 1-3．抛物线 上一点 到焦点 的距离是 10，则点 到 轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线 的准线方程为 ，
因为点 到焦点 的距离是 10，故 到准线 的距离是 10，
则点 到 轴的距离是 9.
故选：B.
变式 1-4．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线上， ，则点 的横坐标为
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