8.2圆的方程（精练）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.2 圆的方程

【题型解读】

【题型一求圆的方程】

1.（2022·全国·高三专题练习已知圆 M与直线 3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线 y＝－x－4

上，则圆 M的方程为(　　)

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

【答案】C

【解析】到两直线 3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为 3x－4y＋5＝0，

联立

解得

又两平行线间的距离为 2，所以圆 M的半径为 1，从而圆 M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.

2.（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）在平面直角坐标系 Oxy 中，以点(0,1)为圆心且与直线

x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　　)

A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2

C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16

【答案】B

【解析】由直线 x－by＋2b＋1＝0可得该直线过定点 A(－1,2)，设圆心为 B(0,1)，由题意可知要使所求圆的

半径最大，则 rmax＝|AB|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝2.

3. （2022·青岛高三月考）若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x－3y＝0和x轴都相切，则该

圆的标准方程是(　　)

A．(x－3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

【答案】B

【解析】设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，

由圆与直线 4x－3y＝0相切，可得圆心到直线的距离 d＝＝r＝1，

化简得|4a－3b|＝5，①

又圆与 x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得 b＝1或b＝－1(舍去)，

把b＝1代入①得 4a－3＝5或4a－3＝－5，

解得 a＝2或a＝－(舍去)，

所以圆心坐标为(2,1)，

则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

4. （2022·济南高三期末）过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是

（UUUUUUU）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】过点作直线的垂线，垂足为，

则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，

其中，设，

则，解得：，

故的中点，即圆心为，即，

故该圆为

故选：B

5.过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】因为过点与，

所以线段 AB 的中点坐标为，，

所以线段 AB 的中垂线的斜率为，

所以线段 AB 的中垂线的方程为，

又因为圆心在直线上，

所以，解得，

所以圆心为，

所以圆的方程为．

故选：A

6.圆心在直线 y＝－2x上，并且经过点，与直线 x＋y＝1相切的圆 C的方程是______．

【答案】

【解析】因为所求圆的圆心在直线 y＝－2x上，

所以可设圆心为，半径为，

由题意知，，

又圆 C与直线 x＋y＝1相切，由点到直线的距离公式可得，

，

所以，

解得，，

所以所求圆 C的方程为．

故答案为：

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