8.2圆的方程（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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8.2 圆的方程

【题型解读】

【知识必备】

1．圆的定义和圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

方

程

标

准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)

圆心 C( a ， b )

半径为 r

一

般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)

圆心 C

半径 r＝

2.点与圆的位置关系

平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：

(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；

(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．

【题型精讲】

【题型一求圆的方程】

必备技巧求圆的方程的两个方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r有关，则设圆的标准方程，求出 a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的方程组，进而求出 D，E，F的值．

例1 （2022·全国·高三专题练习）若圆 C与直线：和：都相切，且圆心在 y轴上，

则圆 C的方程为（KKKKKKKKKK）

A．B．

C．D．

例2 （2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）已知圆的圆心在直线 x－2y－3＝0上，且过点

A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的一般方程为________________．

【跟踪精练】

1. （2022·青岛高三月考）已知直线与以点为圆心的圆相交于 A，B两点，且

，则圆 C的方程为（）

A．B．

C．D．

2. （2022·济南高三期末）已知圆 E经过三点 A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，则圆 E的标准方程为(　　)

A.2＋y2＝B.2＋y2＝

C.2＋y2＝D.2＋y2＝

【题型二与圆有关的轨迹问题】

必备技巧求与圆有关的轨迹问题的方法：

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．

(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

例3 （2022·青岛高三模拟）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比

为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，

，，点满足，则点的轨迹方程为（KKKKKKK）

A．B．C．D．

例4（2022·山东日照高三模拟）已知 Rt△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3,0)．求：

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