8.1直线方程（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.0 cande 2025-05-10 14 4 302.08KB 11 页 3知币
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8.1 直线方程
【题型解读】
【知识必备】
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则AB就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l与x轴相交时，我们以 x轴为基准，x
轴正向 与直线 l向上的方向之间所成的角 α叫做直
线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角 α的取值范围为 0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角 α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母 k表示，即 k＝
tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率 k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y － y 0＝ k ( x － x 0)不含直线 x＝x0
斜截式 y ＝ kx ＋ b 不含垂直于 x轴的直线
两点式 ＝( x 1≠ x 2， y 1≠ y 2)不含直线 x＝x1和直线 y＝y1
截距式 ＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2
＋ B 2
≠ 0) 平面直角坐标系内的直线都适用
5．两条直线的位置关系
直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中 l1与l3是同一直线，l2
与l4是同一直线，l3的法向量 v1＝( A 1， B 1)，l4的法向量 v2＝( A 2， B 2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2k1＝ k 2
且
b 1≠ b 2A1B2－ A 2B1＝ 0
且
A1C2－ A 2C1≠ 0
垂直 v1⊥v2k1· k 2＝－ 1 A1A2＋ B 1B2＝ 0
相交
v1与v2
不共线 k1≠ k 2A1B2－ A 2B1≠ 0
6.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点 P(x，y)到原点 O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离 d＝.
必备技巧
1．直线系方程
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋
C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于 x轴的对称点为(x，－y)，关于 y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
【题型精讲】
【题型一 直线的倾斜角与斜率】
必备技巧 倾斜角和斜率的变化
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要
分与两种情况讨论．
例1 （2022·全国·高三专题练习）已知点 A(1,3)，B(－2，－1)．若直线 l：y＝k(x－2)＋1与线段 AB 相交，
则k的取值范围是(　　)
A．k≥　　 B．k≤－2
C．k≥或 k≤－2　　 D．－2≤k≤
【答案】D
【解析】直线 l：y＝k(x－2)＋1经过定点 P(2,1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线 l：y＝k(x－2)＋1与线段 AB 相交，
∴－2≤k≤.
例2 （2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）直线 x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(
)
A.　　 B.
C.∪　　　 D.∪
【答案】B
【解析】依题意，直线的斜率 k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.
【跟踪精练】
1. （2022·青岛高三月考）直线 的倾斜角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，所以直线 的斜率为 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：D.
2. （2022·济南高三期末）设直线
l
的方程为 ，则直线
l
的倾斜角 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当 时，方程变为 ，其倾斜角为 ，
当 时，由直线方程可得斜率 ，
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