7.8空间几何体中求距离（精练）（解析版） -【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
7.8 空间几何体中求距离
【题型解读】
【题型一 点线距】
1.（2022·陕西安康·高三期末）如图，在正三棱柱 中，若 ，则 C到直线 的
距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知， ，
取AC 的中点 O，则 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
所以 ，
所以 在 上的投影的长度为 ，
故点 C到直线 的距离为： .
故选：D
2.（2022·江苏南通市高三模拟）如图，已知三棱柱 的棱长均为 2， ， ．
(1)证明：平面 平面 ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面 ABC 夹角的余弦值为 ，求点 M到直线 距离．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】(1)取AC 的中点 O，连接 ， ， ，所以 由题
设可知， 为边长为 2的等边三角形，所以 ，
由 ， ，所以 所以 平面 ABC；
平面 ,所以平面 平面 ABC；
(2)以OA 所在直线为 x轴，以 OB 所在直线为 y轴，以 所在直线为 z轴，建立空间直角坐标系，
所以
设 可得 ，
设平面 的法向量为 则
即 取
所以 因为 为平面 ABC 的一个法向量，
设平面 与平面 ABC 夹角为 ，
解得 ，所以
所以点 M到直线 距离
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